Practical construction of Borcherds product

青木宏樹

2002 年２月 18 日

Borcherds 無限積による保型形式の構成法について、特に簡単な場合の具体例をとりあげて、保型形式環とのつながりを見てみたいと思います。

１変数の保型形式では Dedekind の η 関数の無限積表示がよく知られています。 Borcherds は、論文 [2] において、多変数の場合についても無限積を用いて保型形式が構成できることを示しました。この論文については、池田先生による日本語の解説 [10] があります。 Borcherds の論文で扱われた保型形式は、符号 (s + 2, 2) の even integral unimodular lattice （従って s は８の倍数）から得られる IV 型領域上のものです。 Borcherds は generalized Kac-Moody algebras, the monster group, vertex operator algebras などと保型形式との関連性を動機にしてこの結果を得たようです。この構成法は非常に興味深く面白いと感じるのですが、何しろ領域の次元が s + 2 と大きいので保型形式環の構造が具体的に分かっておらず、保型形式環という観点からはちょっと理解しづらいように感じます。

そこで今回は、次元の低い場合への応用を説明することにします。自明でない IV 型領域のなかで最も次元が小さいものは、次数２の Siegel 上半空間（ s = 1 の場合に相当）です。次数２の Siegel 上半空間における Borcherds 無限積については Gritsenko, Nikulin による一連の研究 [5, 6, 7] があります。この領域については井草先生の構造定理により既に保型形式環の構造が決定されているので、 Borcherds 無限積一般の場合よりは、「何ができたのか？」が分かりやすいと思います。今回の解説では、まずこの場合について説明します。 IV 型領域で次に次元が小さいものは、次数２の Hermite 上半空間（ s = 2 の場合に相当）です。この領域における保型形式環の構造については今回長岡先生が解説されましたが、そのなかで現れる無限積を持った保型形式についても少し具体例をあげたいと思います。

実際、これら２つの場合には、保型形式環の構造を決定するうえで重要な役割を果たす保型形式は、 Borcherds 型の無限積表示を持っています。「他の保型形式環についても Borcherds 型の無限積が重要な役割を果たすのか」「そうだとすると、その理由は幾何学的にどう言えるのか」ということが、今後解明すべき研究課題であると個人的には思っています。

文献リストには、文中にあげた論文や解説以外にも、 Borcherds 無限積に関するものを少し追加してあります。文献 [3, 5, 6, 7, 12] については、基礎物理研究所のプレプリントサーバー http://xxx.yukawa.kyoto-u.ac.jp/ からダウンロードすることができます。

先日の講演では、準備不足でうまく要点をまとめて話すことができなかったことを、お詫びいたします。また、講演の機会を与えてくださった伊吹山先生、参考文献についていろいろと教えてくださった長岡先生に深く感謝します。

1 Borcherds の結果

応用に入る前に、まず Borcherds の結果を概観しておく。 s を 24 の倍数とし、 even integral unimodular lattice

Λ := (\begin{matrix}& & −1 \\ & E8^{\frac{s}{8}} \\ −1 \end{matrix}) ,  Λ̃ := (\begin{matrix}& & −1 \\ & Λ \\ −1 \end{matrix})

を考える。 Λ の符号は (s + 1, 1) であり、 Λ̃ の符号は (s + 2, 2) である。これらの lattice から導かれる内積を ( , ) であらわすことにする。領域 D を

C := {w = ^{t} (w_{1}, …, w_{s+2}) ∈ ℝ^{s+2} ≅ Λ ⊗ ℝ | (w, w) < 0, w_{1} > 0}
D := {v = ^{t} (v_{1}, …, v_{s+2}) ∈ ℂ^{s+2} ≅ Λ ⊗ ℂ | Im v ∈ C}

で定め、座標成分を

D ∋ v = ^{t}(\overbrace{τ}^{1}, \overbrace{z}^{s}, \overbrace{ω}^{1})

と書くことにする。 D は

D ≅ SO^{+}(Λ̃; ℝ)/SO(s + 2) × SO(2)

とあらわされ、 IV 型対称空間と呼ばれているものである。以下、

e(∗) := exp(2π\sqrt{−1} ∗),

q^{n} := e(nτ), ζ^{l} := e ((z, l)) , p^{m} := e(mω).

と書くことにする。

F (τ) = ∑_{n=−n_{0}}^{∞} c(n) q^{n}

を SL_{2}(ℤ) に関する重み −\frac{s}{2} の有理型保型形式で、各係数は整数、さらに cusp にのみ極をもち上半平面 ℍ 上で正則であるとする。このとき、 F から定まるベクトル系の Weyl vector と呼ばれるベクトル ρ ∈ Λ が定義され、無限積

Φ(v) := e((ρ, v)) ∏_{γ∈Λ̃, γ>0} (1 − e((γ, v)))^{c(−(γ,γ)/2)}

を F から定まるモジュラー積という。 Borcherds の定理とは、次のようなものである。

定理 (Borcherds) 無限積で定義された関数 Φ は次の性質を持つ。・領域 (Im v, Im v) >> 0 で絶対収束する。・解析接続によって D 上の (多価) 有理型関数となる。・重み\frac{c(0)}{2} の SO^{+}(Λ̃; ℤ) に関する保型形式である。・零点や極はＲＱＤと呼ばれる集合の局所有限な和集合上にある。ここでは詳細な説明は省略し、保型性についてだけ若干説明する。重み 0 の有理型 Jacobi 形式

F (τ) · ϑ_{E_{8}^{s/8}}(τ, z) = ∑_{n,l} c (n − \frac{(l, l)}{2}) q^{n}ζ^{l} ∈ 𝕁_{0,1}^{m}

を考え、（ cusp で正則ではないが）これをリフトしてみる。

∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{m} (F · ϑ_{E_{8}^{s/8}} |T_{−}(m)) (τ, z) p^{m}

= ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n,l} ∑_{a|(n,l,m)} \frac{1}{a} c (−\frac{2nm − (l, l)}{2a^{2}}) q^{n}ζ^{l}p^{m}

= ∑_{γ} ∑_{a|γ} \frac{1}{a} c (−\frac{(γ, γ)}{2a^{2}}) e((γ, v))

= ∑_{a=1}^{∞} ∑_{γ} \frac{1}{a} c (−\frac{(γ, γ)}{2}) \{e((γ, v))\}^{a}

= − log (∏_{γ} (1 − e((γ, v)))^{c(−(γ,γ)/2)})

この関数は重みが 0 なので、 log の中身も Jacobi 形式から由来する重み 0 の保型性を持つはずである。 SO^{+}(Λ̃; ℤ) についての保型性を示すには、 Jacobi 形式由来の保型性以外に、変数 ω と τ の入れ替えについての保型性が必要なので、それが成立するように log の中身を調整したものが、ちょうどモジュラー積になっている。

Borcherds の定理はすばらしく、応用もいろいろと考えられるのですが、特に保型形式環の構造という興味から具体例を知るには、領域の次元が大きすぎます。今回のテーマは Practical construction ですので、 Borcherds の理論の、次元が小さい領域への応用を見てみることにします。実際、次のような結果が知られています。

楕円モジュラー関数の無限積表示

s = 0 →モンスターリー環の分母公式

（ Borcherds ）

次数２の Siegel 保型形式の無限積表示

s = 1 →リー環との関連性

（ Gritsenko など）次数２の Hermite 保型形式の無限積表示

s = 2 →保型形式環の生成元の決定

（ Dern ）

⋮  ⋮
s ∈ 24ℤ 一般の Borcherds 無限積

保型性以外にも、収束性や解析接続の可能性など、現実に考えるべき問題はいろいろとあります。しかし、基本的なアイデアは、次節以降で述べる例もこの節で述べたものと本質的に同じです。

2 次数２の Siegel 保型形式の無限積表示

2.1 保形式の定義

まず、 Borcherds 無限積の例として、次数２の Siegel 上半空間上のものをとりあげる。次数２の Siegel 上半空間

ℍ_{2} := \{Z = (\begin{matrix}τ & z \\ z & ω \end{matrix}) ∈ M_{2}^{sym}(ℂ) | Im(Z) > 0\}

へのシンプレクティック群

Sp_{2}(ℝ) := \{M = (\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) ∈ M_{4}(ℝ) | ^{t}MJM = J, J := (\begin{matrix}0 & −E_{2} \\ E_{2} & 0 \end{matrix})\}

の作用

Sp_{2}(ℝ) × ℍ_{2} ∋ (M, Z) ↦ M⟨Z⟩ := (AZ + B)(CZ + D)^{−1} ∈ ℍ_{2}

を考える。このとき、整数 k を固定するごとに、 ℍ_{2} 上の正則関数全体への Sp_{2}(ℝ) の作用が、

(F |_{k}M)(Z) := det(CZ + D)^{−k}F (M⟨Z⟩)

として定義できる。今、特に、粗な部分群として

Sp_{2}(ℤ) := Sp_{2}(ℝ) ∩ M_{4}(ℤ)

を選んでおく。 ℍ_{2} 上の正則関数 F が重み k の保型形式であるとは、 F = F |_{k}M が任意の M ∈ Sp_{2}(ℤ) に対して成立することをいう。重み k の保型形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を [Sp_{2}(ℤ), k] と書くことにする。なお、群 Sp_{2}(ℤ) に関する Siegel 保型形式全体のなす環の構造は井草先生の論文 [9] によって既に決定されている（1964 年）。

定理 (井草) 群 Sp_{2}(ℤ) に関する Siegel 保型形式全体のなす環の構造は

⨁_{k∈ℤ}[Sp_{2}(ℤ), k] = R ⊕ RΔ_{35}

である。ここで、 R は重み偶数の保型形式全体のなす部分環

R := ⨁_{k∈2ℤ}[Sp_{2}(ℤ), k] = ℂ[E_{4}, E_{6}, Δ_{10}, Δ_{12}]

をあらわす。 E_{4}, E_{6} はそれぞれ重み 4, 6 の定数倍を除いて唯一の保型形式であり、 Δ_{10}, Δ_{12}, Δ_{35} はそれぞれ重み 10, 12, 35 の定数倍を除いて唯一のカスプ形式である。（具体的に Δ_{35}^{2} が R のなかでどのように書けるのかも論文には記されている。）

次に、 Jacobi 形式を説明する。 Sp_{2}(ℤ) は、次の３つの形の行列で生成される。

(\begin{matrix}a & 0 & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & y \\ x & 1 & y & t \\ 0 & 0 & 1 & −x \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

ただし、 (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℤ) であり、また x, y, t ∈ ℤ である。これらの行列の、

Siegel 上半空間上の関数 F (τ, z, ω) への作用は、次のようになっている。

F (τ, z, ω) ↦ \begin{cases}(cτ + d)^{−k}F (\frac{aτ + b}{cτ + d}, \frac{z}{cτ + d}, ω − \frac{cz^{2}}{cτ + d}) \\ F (τ, z + xτ + y, ω + x^{2}τ + 2xz + xy + t) \\ (−1)^{k}F (ω, z, τ) \end{cases}

したがって、 F ∈ [Sp_{2}(ℤ), k] ならば F は Fourier-Jacobi 展開

F (Z) = ∑_{m=0}^{∞} φ_{m}(τ, z)p^{m} ( p := e(ω) )

をもち、係数 φ_{m} は、変換規則

φ_{m}(τ, z) = (cτ + d)^{−k}e (\frac{−mcz^{2}}{cτ + d} ) φ_{m} (\frac{aτ + b}{cτ + d}, \frac{z}{cτ + d})
= e(m (x^{2}τ + 2xz))φ_{m} (τ, z + xτ + y)

をみたす。また、 φ_{m} は Fourier 展開

φ_{m}(τ, z) = ∑_{n,l} c_{m}(n, l)q^{n}ζ^{l} ( q := e(τ), ζ := e(z) )

をもつ。特に、 4nm − l^{2} < 0 であれば c_{m}(n, l) = 0 であることが知られている。

2.2 Jacobi 形式の定義

以上をふまえて、次のように Jacobi 形式の定義する。整数 k, m が与えられた時に ℍ × ℂ 上の正則関数 φ が重み k 指数 m の Jacobi 形式であるとは、 φ が変換規則

φ(τ, z) = (cτ + d)^{−k}e (\frac{−mcz^{2}}{cτ + d} ) φ (\frac{aτ + b}{cτ + d}, \frac{z}{cτ + d})
= e(m (x^{2}τ + 2xz))φ (τ, z + xτ + y)

をみたし、さらに Fourier 展開

φ(τ, z) = ∑_{n,l} c(n, l)q^{n}ζ^{l}

が「 4nm − l^{2} < 0 であれば c(n, l) = 0 」となることである。重み k 指数 m の Jacobi 形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m} と書くことにする。

また、 φ が Jacobi カスプ形式であるとは、 Jacobi 形式の定義における Fourier 係数の条件を、「 4nm − l^{2} ≤ 0 であれば c(n, l) = 0 」と置き換えたものであり、 Jacobi カスプ形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m}^{c} と書くことにする。

同様に、 φ が弱 Jacobi 形式であるとは、 Jacobi 形式の定義における Fourier 係数の条件を「 n < 0 であれば c(n, l) = 0 」と置き換えたものであり、弱 Jacobi 形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m}^{w} と書くことにする。

さらに、 φ が（ cusp にのみ極をもつ）有理型 Jacobi 形式であるとは、 Jacobi 形式の定義における Fourier 係数の条件を「 n が十分小さいときに c(n, l) = 0 」と置き換えたものであり、有理型 Jacobi 形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m}^{m} と書くことにする。

これらの形式の Fourier 展開の係数 c(n, m) は、変換規則により、 4nm − l^{2} と l (mod 2m) の関数であることが、容易に示せる。特に m = 1 のときには、

𝕁_{k,1}^{m} ∋ φ(τ, z) = ∑_{n,l} c(4n − l^{2}) q^{n}ζ^{l}

と書ける。

2.3 楕円モジュラー形式

重み k の楕円モジュラー形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕄_{k} と書くことにする。よく知られているように、楕円モジュラー形式全体のなす次数付き環 𝕄_{∗} は、２つの代数的に独立な楕円モジュラー形式

e_{4}(τ) = 1 + 240q + 2160q^{2} + ⋯ ∈ 𝕄_{4}
e_{6}(τ) = 1 − 504q − 16632q^{2} − ⋯ ∈ 𝕄_{6}

で生成されている。すなわち、

𝕄_{∗} := ⨁_{k∈ℤ} 𝕄_{k} = ℂ[e_{4}, e_{6}]

である。また、

Δ := \frac{1}{1728} (e_{4}^{3} − e_{6}^{2})

は定数倍を除いて唯一な重み 12 のカスプ形式である。 Δ は ℍ 上に零点を持たず、また無限積表示

Δ(τ) = q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{24}

をもつ。

j := \frac{e_{4}^{3}}{Δ}

を、楕円モジュラー関数という。

j(τ) = q^{−1} + 744 + 196884q + ⋯

である。

2.4 弱 Jacobi 形式のなす環の構造

弱 Jacobi 形式のなす環の構造は Eichler-Zagier の本 [4] で既に調べられている。定理 (Eichler-Zagier) 弱 Jacobi 形式のなす環の構造は

⨁_{k,m∈ℤ} 𝕁_{k,m}^{w} = A ⊕ Aφ_{−1,2}

である。ここで、 A は重み偶数の弱 Jacobi 形式全体のなす部分環

A := ⨁_{k∈2ℤ,m∈ℤ} 𝕁_{k,m}^{w} = 𝕄_{∗}[φ_{0,1}, φ_{−2,1}]

をあらわす。 φ_{0,1}, φ_{−2,1}, φ_{−1,2} はそれぞれ、 𝕁_{0,1}^{w}, 𝕁_{−2,1}^{w}, 𝕁_{−1,2}^{w} に含まれる定数倍を除いて唯一の弱 Jacobi 形式であり、次のような形をしている。

φ_{0,1}(τ, z) = (ζ^{−1} + 10 + ζ) + (10ζ^{−2} − 64ζ^{−1} + 108 − 64ζ + 10ζ^{2})q + ⋯
φ_{−2,1}(τ, z) = (ζ^{−1} − 2 + ζ) + (−2ζ^{−2} + 8ζ^{−1} − 12 + 8ζ − 2ζ^{2})q + ⋯
φ_{−1,2}(τ, z) = (−ζ^{−1} + ζ) + (ζ^{−3} − 3ζ^{−1} + 3ζ − ζ^{3})q + ⋯

である。特に、重みが奇数で指数が 1 の弱 Jacobi 形式は 0 以外に存在しない。

2.5 無限積による Jacobi 形式の構成

定義 写像 a : ℤ ⟶ ℤ がベクトル系であるとは、次の条件をみたすことである。 (V1) a(l) ≠ 0 となる l は高々有限個 (V2) 任意の l ∈ ℤ に対して、 a(l) = a(−l) (V3) ρ := \frac{1}{2} ∑_{l>0} l a(l) ∈ ℤ (V4) d := ∑_{l∈ℤ} a(l) ∈ 24ℤ (V5) k := \frac{1}{2}a(0) ∈ ℤ (V6) μ := \frac{1}{2} ∑_{l>0} l^{2} a(l) ∈ ℤ

ベクトル系が与えられたときに、それに対応した無限積

φ(τ, z) := q^{\frac{d}{24}} ζ^{−ρ} ∏_{(n,l)>0} (1 − q^{n}ζ^{l})^{a(l)}

を考える。ただし、 (n, l) > 0 とは、 n > 0, l ∈ ℤ であるか、または n = 0, l > 0 であることを意味するものとする。

定理 無限積 φ は、重み k 指数 μ の有理型 Jacobi 形式である。

証明の前に、いくつかの例をあげておく。例においては、ベクトル系は 0 でない部分だけを書いている。

（例１） a(0) = 24
ρ = 0, d = 24, k = 12, μ = 0.

q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{24} = Δ(τ) ∈ 𝕁_{12,0} = 𝕄_{12}

（例２） a(±1) = 2, a(0) = −4
ρ = 1, d = 0, k = −2, μ = 1.

ζ^{−1} (1 − ζ)^{2} ∏_{n=1}^{∞} \begin{matrix}(1 − q^{n}ζ) & 2 & (1 − q^{n}ζ^{−1}) & 2 \\ (1 − q^{n}) & 4 \end{matrix} = φ_{−2,1}(τ, z) ∈ 𝕁_{−2,1}^{w}

（例３） a(±2) = 1, a(0) = −2
ρ = 1, d = 0, k = −1, μ = 2.

ζ^{−1} (1 − ζ^{2}) ∏_{n=1}^{∞} \begin{matrix}(1 − q^{n}ζ^{2}) & (1 − q^{n}ζ^{−2}) \\ (1 − q^{n}) & 2 \end{matrix} = φ_{−1,2}(τ, z) ∈ 𝕁_{−1,2}^{w}

さて、定理の証明を行う。 φ が収束して ℍ × ℂ 上の正則関数になること、 τ と z について周期１を持つこと、そして有理型 Jacobi 形式の Fourier 展開の条件をみたすことは容易にわかる。したがって、残りの変換規則をしらべればよい。まず

D := q^{μ}ζ^{2μ}φ(τ, z + τ)/φ(τ, z)

とおく。すると、

D = q^{μ}ζ^{2μ}q^{−ρ} ∏_{l>0} ∏_{n=0}^{l−1} (\frac{1 − q^{−n}ζ^{−l}}{1 − q^{n}ζ^{l}} )^{a(l)}

= q^{μ−ρ}ζ^{2μ} ∏_{l>0} ∏_{n=0}^{l−1} (−q^{−n}ζ^{−l})^{a(l)}

となり、 q のべきは

μ − ρ − ∑_{l>0} ∑_{n=0}^{l−1} n a(l) = μ − ρ − ∑_{l>0} \frac{l(l − 1)}{2} a(l)
= μ − ρ − μ + ρ = 0

また、 ζ のべきは

2μ − ∑_{l>0} ∑_{n=0}^{l−1} l a(l) = 2μ − ∑_{l>0} l^{2} a(l)
= 2μ − 2μ = 0

そして、 (−1) のべきは

∑_{l>0} ∑_{n=0}^{l−1} a(l) = ∑_{l>0} l a(l) = 2ρ ∈ 2ℤ

となる。ゆえに D = 1 であるから、変換規則 φ(τ, z) = q^{μ}ζ^{2μ}φ(τ, z + τ) が成立する。次に、

f(τ, z) := \frac{φ(τ, z)}{e (−\frac{μz^{2}}{τ} ) φ (−\frac{1}{τ} , \frac{z}{τ} )}

とおく。今までに示したことから、 f は z について二重周期 1, τ をもつことがわかる。 τ を固定して f を z の関数だと思うと、分子の零点 (極) は nτ + lz ∈ ℤ で位数 a(l)、分母の零点 (極) は lz − n ∈ τℤ で位数 a(l) である。よって f は零点も極ももたない二重周期関数であるから、 f は z に関して定数であるとわかる。即ち、 f は τ のみによって決まる関数である。

f(τ, z) = f(τ) = lim_{z→0} \frac{φ(τ, z)}{e (−\frac{μz^{2}}{τ} ) φ (−\frac{1}{τ} , \frac{z}{τ} )}

を考えれば、ほとんどの部分は z → 0 で消えて

f(τ, z) = \frac{q^{\frac{d}{24}}}{e (−\frac{d}{24τ} )} ∏_{n=1}^{∞} \begin{matrix}(1 − q^{n}) & d \\ (1 − e (−\frac{n}{τ})) & d \end{matrix} × lim_{z→0} \{∏_{l>0} \begin{matrix}(1 − ζ^{l}) & a(l) \\ (1 − e (\frac{lz}{τ} )) & a(l) \end{matrix} \}

= \frac{Δ(τ)^{\frac{d}{24}}}{Δ (−\frac{1}{τ} )^{\frac{d}{24}}} × τ^{(∑_{l>0} a(l))}

= \frac{Δ(τ)^{\frac{d}{24}}}{Δ (−\frac{1}{τ} )^{\frac{d}{24}}} × τ^{\frac{d}{2} −k}
= τ^{−k}

となる。これで、変換規則 φ(τ, z) = τ^{−k}e (−\frac{μz^{2}}{τ} ) φ (−\frac{1}{τ} , \frac{z}{τ} ) も示せた。よって無限積 φ は重み k 指数 μ の有理型 Jacobi 形式である。

2.6 ヘッケ作用素

Sp_{2}(ℝ) の元 M で M⟨Z⟩ − mZ が ω によらないものは、次のような形をしている。

[A, e, X, t] := (\begin{matrix}a & 0 & b & 0 \\ 0 & e & 0 & 0 \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{−1} \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & y \\ x & 1 & y & t \\ 0 & 0 & 1 & −x \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

( X = (x, y), A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ℝ), e^{2} = m )

このとき、保型因子にも ω はでてこない。また、これらの行列間の積は

[A, e, X, t] · [B, f, Y, u] =

[AB, ef, f^{−1}XB + Y, \frac{t}{f^{2}} + u + det (\begin{matrix}f^{−1}XB \\ Y \end{matrix})]

と書ける。いま、

M_{2}(m) := {A ∈ GL_{2}(ℤ) | det A = m}

の元 A に対し、行列

[A] := [\frac{1}{\sqrt{m}}A, \sqrt{m}, 0, 0] (A ∈ M_{2}(m))

を考え、 φ(τ, z) ∈ 𝕁_{k,m_{0}}^{w} に対し

(φ|T_{−}(m))(τ, z) := ∑_{A∈SL_{2}(ℤ)\M_{2}(m)}(φ|[A])(τ, z)

と定義する。ただし、 (φ|[A])(τ, z) とは ℍ_{2} 上の正則関数 φ(τ, z)e(m_{0}ω) に [A] を作用させて e(mm_{0}ω) で割ったものと考えている。このとき (φ|T_{−}(m))(τ, z) ∈ 𝕁_{k,mm_{0}}^{w} である。

特に m_{0} = 1 のときに、この作用で Fourier 係数がどうなるかを計算してみる

φ(τ, z) = ∑_{n,l} c(4n − l^{2}) q^{n}ζ^{l} ∈ 𝕁_{k,1}^{w}

とすると、

(φ|T_{−}(m))(τ, z) = ∑_{ad=m} ∑_{b=0}^{d−1} (φ| [\begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix}]) (τ, z)

= ∑_{ad=m} ∑_{b=0}^{d−1} (\frac{d}{m})^{−k} φ (\frac{aτ + b}{d}, az)

= ∑_{ad=m} ∑_{b=0}^{d−1} a^{k} ∑_{n,l} c(4n − l^{2}) e (\frac{bn}{d}) q^{\frac{an}{d}} ζ^{al}
= ∑_{ad=m} a^{k} ∑_{n≡0(d)} ∑_{l} d c(4n − l^{2}) q^{\frac{an}{d}} ζ^{al}
= m ∑_{ad=m} a^{k−1} ∑_{n,l} c (4nd − l^{2}) q^{an}ζ^{al}

= m ∑_{a|m} a^{k−1} ∑_{n,l} c (\frac{4nm}{a} − l^{2}) q^{an}ζ^{al}

= m ∑_{n,l} ∑_{a|(n,l,m)} a^{k−1} c (\frac{4nm − l^{2}}{a^{2}} ) q^{n}ζ^{l}

である。

2.7 齋藤-黒川リフト

指数 1 の Jacobi カスプ形式

φ(τ, z) = ∑_{n,l} c(4n − l^{2}) q^{n}ζ^{l} ∈ 𝕁_{k,1}^{c}

に対し、

(Lift(φ)) (Z) := ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{m}(φ|T_{−}(m))(τ, z) p^{m}

と定義する。

定理 (Saito-Kurokawa) Lift(φ) は Sp_{2}(ℤ) に関する重み k の保型形式である。実際に Lift(φ) の Fourier 展開を具体的に計算すると、

(Lift(φ)) (Z) = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n,l} ∑_{a|(n,l,m)} a^{k−1} c (\frac{4nm − l^{2}}{a^{2}} ) q^{n}ζ^{l}p^{m}

= ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n=1}^{∞} ∑_{l} ∑_{a|(n,l,m)} a^{k−1} c (\frac{4nm − l^{2}}{a^{2}} ) q^{n}ζ^{l}p^{m}

であるから、 (Lift(φ)) (Z) は ω と τ の交換で不変である。また、作り方から [Sp_{2}(ℤ), k] の他の変換規則を満たすことは明らかである。証明は省略するが、実際 (Lift(φ)) (Z) は収束して ℍ_{2} 上の正則関数になっている。なお、元の Jacobi 形式がカスプ形式でない場合、すなわち φ ∈ 𝕁_{k,1} のときも、類似の結果が知られている。

2.8 Siegel 保型形式の無限積表示

本当は k = 0 のとき 𝕁_{0,1}^{c} = {0} であるが、とりあえず形式的に前述のリフトを計算してみると、

(Lift(φ)) (Z) = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n,l} ∑_{a|(n,l,m)} a^{−1} c (\frac{4nm − l^{2}}{a^{2}} ) q^{n}ζ^{l}p^{m}

= ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n,l} ∑_{a=1}^{∞} a^{−1} c (4nm − l^{2}) (q^{n}ζ^{l}p^{m})^{a}

= − ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n,l} log (1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{c(4nm−l^{2})}

= − log ( ∏_{m=1}^{∞} ∏_{n,l} (1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{c(4nm−l^{2})})

となる。一方 a(l) := c(−l^{2}) をベクトル系とする Jacobi 形式は

q^{\frac{d}{24}} ζ^{−ρ} ∏_{(n,l)>0} (1 − q^{n}ζ^{l})^{a(l)} ∈ 𝕁_{k,μ}^{m}

である。ここで、記号 (n, l, m) > 0 が m > 0, n, l ∈ ℤ または m = 0, (n, l) > 0 であることを意味するとすると、無限積

Φ(Z) := q^{\frac{d}{24}} ζ^{−ρ}p^{μ} ∏_{(n,l,m)>0} (1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{c(4nm−l^{2})}

は、もしも ω と τ の交換についての変換規則が成り立つならば、 Sp_{2}(ℤ) の変換規則を満たしていることになる。実際に Φ がある領域内で収束して解析接続した結果が保型形式となることを示すには Fourier 係数の評価が必要であるが、煩雑なので証明は省略する。 Φ が収束して保型形式となるための十分条件は、例えば、 l < 0 で c(l) ≥ 0 となることである (必要十分ではない)。以下、いくつかの例を示す。（例１）

φ_{A} := 2φ_{0,1}

c(−1) = 2, c(0) = 20, …

qζ^{−1}p ∏_{(n,l,m)>0} (1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{c(4nm−l^{2})} = Δ_{10}(Z) ∈ [Sp_{2}(ℤ), 10]

（例２）

φ_{B} := \frac{5e_{4}^{3}φ_{0,1} + 3e_{6}^{2}φ_{0,1} − 8e_{4}^{2}e_{6}φ_{−2,1}}{96Δ}

c(−4) = 1, c(−1) = 0, c(0) = 70, …

q^{3}ζ^{−1}p^{2} ∏_{(n,l,m)>0} (1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{c(4nm−l^{2})} = Δ_{35}(Z) ∈ [Sp_{2}(ℤ), 35]

より一般には、次の結果が知られている（論文 [7] ）。

定理 (Gritsenko) 無限積を用いて重み 5p(p^{2} − 1) の保型形式を構成できる。ただし、 p は任意の奇素数。

3 楕円モジュラー関数の無限積表示

今までみてきたのは、 s = 1 の場合（次数２の Siegel 保型形式）であるが、今度は s = 0 の場合をみてみる。このとき、考える領域と群は

ℍ × ℍ, SL_{2}(ℤ) × SL_{2}(ℤ)

である。この場合も、 s = 1 の場合と同様にして、無限積表示をもつ保型形式が構成できる。いま、モジュラー関数

J(τ) = j(τ) − 744 = ∑_{n∈ℤ} c(n)q^{n}

c(−1) = 1, c(0) = 0, c(1) = 196884, … を考え、ヘッケ作用素をもちいた持ち上げを計算してみると、

(J|T_{−}(m)) (τ) = ∑_{ad=m} ∑_{b=0}^{d−1} J (\frac{aτ + b}{d})

= ∑_{ad=m} ∑_{b=0}^{d−1} ∑_{n∈ℤ} c(n) e (\frac{bn}{d}) q^{\frac{an}{d}}
= ∑_{ad=m} ∑_{n≡0(d)} d c(n) q^{\frac{an}{d}}
= ∑_{ad=m} ∑_{n∈ℤ} d c(dn) q^{an}
= ∑_{a|m} ∑_{n∈ℤ} \frac{m}{a} c (\frac{mn}{a}) q^{an}

= m ∑_{n∈ℤ} ∑_{a|(m,n)} \frac{1}{a} c (\frac{mn}{a^{2}}) q^{n}

となる。よって、加法的リフトは

∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{m} (J|T_{−}(m)) (τ) p^{m} = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n∈ℤ} ∑_{a|(m,n)} \frac{1}{a} c (\frac{mn}{a^{2}}) q^{n}p^{m}

= ∑_{a=1}^{∞} ∑_{m=1}^{∞} ∑_{n∈ℤ} \frac{1}{a} c(mn) (q^{n}p^{m})^{a}

= − log ( ∏_{m=1}^{∞} ∏_{n∈ℤ} (1 − q^{n}p^{m})^{c(mn)})

という形になる。ここで log の中身は c(−1) = 1, c(0) = 0 だから、

∏_{m=1}^{∞} ∏_{n∈ℤ} (1 − q^{n}p^{m})^{c(mn)} = (1 − q^{−1}p) ∏_{m=1}^{∞} ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n}p^{m})^{c(mn)}

となり、これは p で割ることによって ω と τ との交換で不変にできる。よって、収束性や解析接続性を認めれば、これは重み 0 の有理型保型形式であるといえる。実際に先頭のいくつかの Fourier 係数を見てやることにより、等式

j(ω) − j(τ) = (p^{−1} − q^{−1}) ∏_{m=1}^{∞} ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n}p^{m})^{c(mn)}

が得られる。これが monster Lie algebra の分母公式になっているという事実は、 Borcherds の偉大な発見である。また、この等式は、楕円モジュラー関数の Fourier 係数の間の関係式を与えている。例えば qp^{2} の係数を見て

c(4) = c(3) + \frac{c(1) (c(1) − 1)}{2}

であることが分かる。実際

20245856256 = 864299970 + \frac{196884 · 196883}{2}

である。

4 Hermite 保型形式

同様の手法は、 s = 2 の場合 (次数２の Hermite 上半空間) にも通用する。例として虚２次体が 𝕂 := ℚ[i] の場合を考える。このとき 𝕂 の整数環は O_{𝕂} = ℤ[i] である。次数２の Hermite 上半空間は

H_{2} := \{Z = (\begin{matrix}τ & z_{1} + iz_{2} \\ z_{1} − iz_{2} & ω \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℂ) | \frac{Z −^{t}\overline{Z}}{2} > 0\}

で定義され、群と作用は

Γ := \{M ∈ M_{4}(O_{𝕂}) | ^{t}\overline{M}JM = J\}

M⟨Z⟩ := (AZ + B)(CZ + D)^{−1}

で与えられる。このとき、整数 k を固定するごとに、 H_{2} 上の正則関数全体への Γ の作用が、

(F |_{k}M)(Z) := det(CZ + D)^{−k}F (M⟨Z⟩)

として定義できる。 H_{2} 上の正則関数 F が重み k の保型形式であるとは、 F = F |_{k}M が任意の M ∈ Γ に対して成立することをいう。重み k の保型形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を [Γ, k] と書くことにする。

Hermite 保型形式の場合にも、 Siegel 保型形式の場合と同様にして Jacobi 形式が定義でき、重み 0 指数 1 の有理型 Jacobi 形式

ψ := ∑_{n,l_{1},l_{2}} c(4n − l_{1}^{2} − l_{2}^{2})q^{n}ζ_{1}^{l_{1}}ζ_{2}^{l_{2}}

( ζ_{1} := e(z_{1}), ζ_{2} := e(z_{2}) )

に対して、 Borcherds リフト

p^{\frac{d}{24}} ζ_{1}^{ρ_{1}}ζ_{2}^{ρ_{2}}p^{m} ∏_{(n,l_{1},l_{2},m)>0} (1 − q^{n}ζ_{1}^{l_{1}}ζ_{2}^{l_{2}}p^{m})^{c(4nm−l_{1}^{2}−l_{2}^{2})}

が考えられる。これからあげる例では、 φ と書くと τ と z_{1} を変数とする Jacobi 形式を、 φ̃ と書くと τ と z_{2} を変数とする Jacobi 形式をあらわすとする

(例１)

ψ_{A} := \frac{1}{6} (φ_{0,1}φ̃_{0,1} − e_{4}φ_{−2,1}φ̃_{−2,1})

c(−1) = 2, c(0) = 16, …

q ζ_{1}^{−1} ζ_{2}^{−1} p ∏_{(n,l_{1},l_{2},m)>0} (1 − q^{n}ζ_{1}^{l_{1}}ζ_{2}^{l_{2}}p^{m})^{c(4nm−l_{1}^{2}−l_{2}^{2})} ∈ [Γ, 8]

(例２)

ψ_{B} := \frac{1}{6} (φ_{0,1}φ̃_{0,1} + 5e_{4}φ_{−2,1}φ̃_{−2,1})

c(−2) = 1, c(−1) = 0, c(0) = 20, …

q ζ_{1}^{−1} p ∏_{(n,l_{1},l_{2},m)>0} (1 − q^{n}ζ_{1}^{l_{1}}ζ_{2}^{l_{2}}p^{m})^{c(4nm−l_{1}^{2}−l_{2}^{2})} ∈ [Γ, 10]

(例３)

e_{6,1} := \frac{1}{12} (e_{6}φ_{0,1} − e_{4}^{2}φ_{−2,1})

ψ_{C} := \frac{e_{6,1}ẽ_{6,1}}{Δ} − 44ψ_{A}

c(−4) = 1, c(−2) = 0, c(−1) = 0, c(0) = 68, …

q^{3} ζ_{1}^{−1} ζ_{2}^{−1} p^{2} ∏_{(n,l_{1},l_{2},m)>0} (1 − q^{n}ζ_{1}^{l_{1}}ζ_{2}^{l_{2}}p^{m})^{c(4nm−l_{1}^{2}−l_{2}^{2})} ∈ [Γ, 34]

これらは Hermite 保型形式環の生成元の一部になっている。

5 群がフルモジュラーでない場合

最後に、考える群がフルモジュラーでない場合について、少しだけふれておく。次数２の Siegel 保型形式において、作用する群が

Γ_{2,0}(3) := \{(\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) ∈ Sp_{2}(ℤ) | C ≡ O_{2} (mod 3)\}

である場合を考える。フルモジュラーの場合と同様に、 Fourier-Jacobi 展開の係数が満たす変換規則から Jacobi 形式を定義する。このとき、群 Γ_{1,0}(3) に関する定数倍を除いて唯一な重み 2 の保型形式

α = 1 + 12q + 36q^{2} + 12q^{3} + ⋯

から、弱 Jacobi 形式

\frac{1}{2} (φ_{0,1} − αφ_{−2,1}) = ∑_{n,l} c(4n − l^{2})q^{n}ζ^{l}

が構成できる。この Fourier 係数は

c(0) = 6, c(3) = −42, c(4) = 72, …

である。これより無限積

∏_{(n,l,m)>0} \{\frac{(1 − q^{n}ζ^{l}p^{m})^{3}}{(1 − q^{3n}ζ^{3l}p^{3m})}\}^{c(4nm−l^{2})}

が考えられ、 [Γ_{2,0}(3), 6] の元になっていると報告者は考えたが、まだ詳細を確かめてはいない。

References

[1] 浅井哲也, Borcherds の無限積−入門一歩手前−, 第 41 回代数学シンポジウム報告集, 113–121.

[2] Borcherds, R.E., Automorphic forms on O_{s+2,2}(ℝ) and infinite products, Invent. Math. 120-1 (1995), 161–213.

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[4] Eichler, M., Zagier D., The Theory of Jacobi Forms, Progress in Math. 55, Birkhäuser, Boston, 1985.

[5] Gritsenko, V.A.; Nikulin, V.V., Automorphic forms and Lorentzian Kac-Moody algebras. I; II, Internat. J. Math. 9-2 (1998), 153–199; 201–275.

[6] Gritsenko, V.A.; Nikulin, V.V., Siegel automorphic form corrections of some Lorentzian Kac-Moody Lie algebras, Amer. J. Math. 119-1 (1997), 181–224.

[7] Gritsenko, V.A.; Nikulin, V.V., Igusa modular forms and ”the simplest” Lorentzian Kac-Moody algebras, (Russian) Mat. Sb. 187-11 (1996), 27–66; translation in Sb. Math. 187-11 (1996), 1601–1641.

[8] 原田耕一郎 ; 松尾厚, フィールズ賞受賞者紹介 R.E. Borcherds 氏の業績 I; II, 数学 51-1 (1999/1), 56–61.

[9] Igusa, J., On Siegel modular forms of genus two I; II, Amer. J. Math. 84(1962), 175–200; 86(1964), 392–412.

[10] 池田保, 無限積による保型形式の構成, 第５回 (1997 年) 整数論サマースクール報告集, 94–104.

[11] 河合俊哉, 弦理論における保型関数. 数理科学 439 (2000/1), 28–34.

[12] Kontsevich, M., Product formulas for modular forms on O(2,n) (after R. Borcherds), Seminaire Bourbaki Vol. 1996/97, Asterisque No. 245 (1997), Exp. No. 821-3, 41–56.