保型形式のなす環の構造について

青木宏樹

東京理科大学理工学部

2007 年 12 月 17 日

概要

保型形式のなす環の構造について解説する。ます最初に基本的なことがらを述べ、次に、そこから導かれる最近の研究成果のなかで比較的簡単な部分を説明する。保型形式のなす環の構造を調べる方法としては、次元公式や代数幾何学的手法など、多くの手段が知られているが、本稿では、初等的な方法で調べられる部分に限って解説を行う。もっとも、初等的な計算だけでも、いくつかの最近の研究成果を証明することができる。

On the ring structure of modular forms

Hiroki Aoki

Faculty of Science and Technology

Tokyo University of Science

December 17, 2007

Abstract

This note is a brief introduction to the ring structure of modular forms. First, we review the basic example, and second, we study some recent results. For investigating the ring structure of modular forms, we have many tools, such as dimension formula, algebraic geometry, and so on. However, in this note, we treat only the elementary part. We remark that we can proof some recent result by only elementally calculation.

1 基本的事項

まず最初に、保型形式に関する基本事項をまとめておく。この節の内容についてより深く知りたいときには、ジーゲル保型形式に関するテキスト、たとえば [Fr2, Kl] などを見ていただきたい。

1.1 記法

ℕ, ℕ_{0}, ℝ, ℂ を、それぞれ自然数、非負整数、実数、複素数全体のなす集合とする。また、簡単のため、 τ, z, ω ∈ ℂ に対して q := e(τ) := exp(2π\sqrt{−1}τ), ζ := e(z), p := e(ω) と書くことにする。

1.2 楕円モジュラー形式

複素上半平面を ℍ := {τ ∈ ℂ | Im (τ) > 0} と書くことにする。

定義 k ∈ ℤ とする。正則関数 f : ℍ → ℂ が次の条件を満たしているとき、 f は重み k の楕円モジュラ形式であるという。

(E1) f (τ) = (cτ + d)^{−k}f (\frac{aτ+b}{cτ+d}) (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL(2, ℤ))

(E2) フーリエ展開 f (τ) = ∑_{n∈ℤ}a(n)q^{n} において、 n < 0 では a(n) = 0。

重み k の楕円モジュラ形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を M_{k} と書くことにする。特に、条件 (E2) において n < 0 のかわりに n < r としたものを M_{k}(r) と書くことにする。楕円モジュラ形式全体のなす次数付き環 M_{∗} := ⨁_{k∈ℤ} M_{k} の構造は既によく知られている。 k < 0 のとき M_{k} = {0} であり、また、 M_{0} = ℂ である。 M_{∗} は ℂ 上代数的独立な二つの元

e_{4}(τ) =1 + 240q + O(q^{2}) ∈ M_{4},
e_{6}(τ) =1 − 504q + O(q^{2}) ∈ M_{6}

によって生成され、 M_{k} の次元は

∑_{k∈ℤ}(dim M_{k}) x^{k} = \frac{1}{(1 − x^{4})(1 − x^{6})}

によって与えられる。また、

Δ(τ) :=\frac{e_{4}(τ)^{3} − e_{6}(τ)^{2}}{1728}
=\frac{−1}{6912πi} det (\begin{matrix}4e_{4}(τ) & 6e_{6}(τ) \\ \frac{d}{dτ} e_{4}(τ) & \frac{d}{dτ} e_{6}(τ) \end{matrix})
=q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{24} ∈ M_{12}(1)

は、定数倍を除いて M_{12}(1) の唯一の元であり、 ℍ 上零点を持たない。よって、同型

M_{k}(r) ∋ f (τ) ↦^{∼} f (τ) Δ(τ) ∈ M_{k+12}(r + 1)

により

M_{k}(r) = Δ^{r}M_{k−12r} dim M_{k}(r) = dim M_{k−12r}

が得られる。

1.3 次数２のジーゲル保型形式

次数２のジーゲル上半空間は

ℍ_{2} := \{Z = ^{t}Z = (\begin{matrix}τ & z \\ z & ω \end{matrix}) ∈ M(2, ℂ) | Im (Z) > 0\}

によって定義される。シンプレクティック群

Sp(2, ℝ) := \{M = (\begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix}) ∈ M(4, ℝ) | ^{t}MJM = J, J = (\begin{matrix}0 & E_{2} \\ −E_{2} & 0 \end{matrix})\}

は

ℍ_{2} ∋ Z ↦ M⟨Z⟩ := (AZ + B)(CZ + D)^{−1} ∈ ℍ_{2}

によって ℍ_{2} に推移的に作用し、 det(CZ + D) はこの作用の保型因子になっている。

Sp(2, ℤ) := Sp(2, ℝ) ∩ M(4, ℤ)

は Sp(2, ℤ) の粗な部分群である。重み k ∈ ℤ に対し、正則関数 F : ℍ_{2} → ℂ への Sp(2, ℝ) の作用を

(F |_{k}M)(Z) := det(CZ + D)^{−k}F (M⟨Z⟩).

で定める。定義正則関数 F : ℍ_{2} → ℂ が重み k のジーゲル保型形式であるとは、任意の M ∈ Sp(2, ℤ) に対し、 F |_{k}M = F が成り立っていることである。

重み k のジーゲル保型形式全体を 𝕄_{k} と書くことにする。ジーゲル保型形式全体のなす次数付き環 𝕄_{∗} := ⨁_{k∈ℤ} 𝕄_{k} の構造は、 1960 年代に井草先生の論文 [Ig1, Ig2] により決定された。

定理次数２のジーゲル保型形式全体のなす次数付き環 𝕄_{∗} は、重みが 4, 6, 10, 12, 35 の５つの元で生成される。前者４つは代数的独立であり、重み 35 の元の自乗は前者４つの元であらわされる。

この定理により、 𝕄_{k} の次元は

∑_{k∈ℤ}(dim 𝕄_{k}) x^{k} = \frac{1 + x^{35}}{(1 − x^{4})(1 − x^{6})(1 − x^{10})(1 − x^{12})}

によって与えられる。

現在では、この定理の証明は何通りも知られている。本稿では、この定理を２通りの方法で証明し、それぞれについて、知られている応用を述べる。

2 ヤコビ形式を用いた保型形式環の構造決定法

2.1 ヤコビ形式

ヤコビ形式については、 Eichler-Zagier の本 [EZ] にその基本的性質がよくまとめられている。当節では、このなかで保型形式環の構造決定に必要な部分だけを（少々拡張した形で）まとめておく。

定義 k ∈ ℤ, m ∈ ℕ_{0} とする。正則関数 φ : ℂ × ℍ → ℂ が次の条件を満たしているとき、 φ は重み k 指数 m の弱ヤコビ形式であるという。

(J1) φ (τ, z) = (cτ + d)^{−k}e(\frac{−mcz^{2}}{cτ+d})φ (\frac{aτ+b}{cτ+d}, \frac{z}{cτ+d}) (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL(2, ℤ))

(J2) φ (τ, z) = q^{mx^{2}}ζ^{2mx}φ (τ, z + xτ + y) (x, y ∈ ℤ)

(J3) フーリエ展開 φ (τ, z) = ∑_{n,l∈ℤ}a(n, l)q^{n}ζ^{l} で n < 0 のとき a(n, l) = 0。

重み k 指数 m の弱ヤコビ形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m} と書くことにする。特に、条件 (J3) において n < 0 のかわりに n < r としたものを 𝕁_{k,m}(r) と書くことにする。 𝕁_{k,m}(r) の元のうち、テーラー展開 φ (τ, z) = ∑_{t=0}^{∞} f_{t}(τ)z^{t} において、 t < s では f_{t} = 0 となるもの全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕁_{k,m}(r, s) と書くことにし、写像 P_{t} を φ ↦ f_{t} と定義する。なお、 φ がヤコビ形式であるとは, 条件 (J3) において n < 0 のかわりに 4nm − l^{2} < 0 としたものである。

Eichler-Zagier の本とまったく同様にして次の補題が示せる（r = 0 のときが本の定理 3.1 および定理 3.4 である）

補題重み k が偶数のとき、 𝕁_{k,m}(r, 2m + 1) = {0}。重み k が奇数のとき、 𝕁_{k,m}(r, 2m − 2) = {0}。

証明 φ (τ, z) ∈ 𝕁_{k,m} が 0 でないとし、変数 τ を固定して φ を z の関数と考えることにする。このとき、 φ の零点を通らない、原点を内部に含む積分路 z → z + 1 → z + τ + 1 → z + τ → z がとれる。この積分路の内側の零点の個数は変換規則 (J2) より容易に計算でき、重複度を込めてちょうど 2m 個と求まる。よって φ の z = 0 での零点の位数はたかだか 2m なので 𝕁_{k,m}(r, 2m + 1) = {0}。重み k が奇数の時には、変換規則 (J1)(J2) により φ (τ, \frac{1}{2}) = φ (τ, \frac{τ}{2}) = φ (τ, \frac{1+τ}{2} ) = 0 となる。よって φ の z = 0 での零点の位数はたかだか 2m − 3 なので 𝕁_{k,m}(r, 2m − 2) = {0}。

弱ヤコビ形式の次元は楕円モジュラ形式の次元を用いて上から押えることができる。写像 P_{t} は完全列

0 ⟶ 𝕁_{k,m}(r, t + 1) ⟶ 𝕁_{k,m}(r, t) ⟶^{P_{t}} M_{k+t}(r)

を導くので、 dim 𝕁_{k,m}(r, t) ≤ dim 𝕁_{k,m}(r, t + 1) + dim M_{k+t}(r)。よって、先の補題により、不等式

dim 𝕁_{k,m}(r) ≤ \begin{cases}∑_{t=0}^{2m} dim M_{k+t}(r) & (k : 偶数) \\ ∑_{t=0}^{2m−3} dim M_{k+t}(r) & (k : 奇数) \end{cases}

が導かれる。実際、 Eichler-Zagier の本では３つの弱ヤコビ形式

φ_{−2,1}(z, τ) = − 4π^{2}z^{2} + O(z^{4}) ∈ 𝕁_{−2,1}(0, 2)
φ_{0,1}(z, τ) =12 + O(z^{2}) ∈ 𝕁_{0,1}(0, 0)
φ_{−1,2}(z, τ) =4π\sqrt{−1}z + O(z^{3}) ∈ 𝕁_{0,1}(0, 0)

が構成されており、この次元の評価から

𝕁_{k,m}(r) = \begin{cases}⨁_{t=0}^{m} φ_{−2,1}^{t}φ_{0,1}^{m−t}M_{k+2t}(r) & (k : 偶数) \\ φ_{−1,2}𝕁_{k+1,m−2}(r) & (k : 奇数) \end{cases}

であることがわかる。特に、重みが奇数で指数が１以下の弱ヤコビ形式は存在しない。さらに、重みが 4 または 6 で指数 1 のヤコビ形式は１次元で、その基底は

e_{4,1}(z, τ) =e_{4}(τ) + O(z^{2}) ∈ 𝕁_{4,1}(0, 0),
e_{6,1}(z, τ) =e_{6}(τ) + O(z^{2}) ∈ 𝕁_{6,1}(0, 0),

であることもわかる。

2.2 井草の定理の証明（１）

ヤコビ形式とジーゲル保型形式とは非常に密接な関係にある。すなわち、重み k のジーゲル保型形式のフーリエ展開

F (Z) = ∑_{m=0}^{∞} φ_{m}(τ, z)p^{m} ∈ 𝕄_{k}

を考えると、 φ_{m}(τ, z) ∈ 𝕁_{k,m} となる。ただし、この対応は１対１ではなく、任意のヤコビ形式がジーゲル保型形式のフーリエ展開の係数に現れるとは限らない。そこで、この対応をもう少し精密に見てみることにする。

𝕄_{k}(r) := { F ∈ 𝕄_{k} | φ_{m} = 0 (m < r) }

と定めれば、 𝕄_{k} = 𝕄_{k}(0) ⊃ 𝕄_{k}(1) ⊃ 𝕄_{k}(2) … であり、また、 ⋂_{r=0}^{∞} 𝕄_{k}(r) = {0} である。これより、完全列

0 ⟶ 𝕄_{k}(r + 1) ⟶ 𝕄_{k}(r) ⟶ 𝕁_{k,m}

が得られる。ここで、右端の矢印は写像 F → φ_{m} をあらわすものとする。ただし、この写像は全射ではない。 F ∈ 𝕄_{k} の変換規則 F ( \begin{matrix}τ & z \\ z & ω \end{matrix}) = (−1)^{k}F ( \begin{matrix}ω & z \\ z & τ \end{matrix}) に注意し、さらに k の偶奇で場合分けして考えることにより、より精密な完全列

\begin{cases}0 ⟶ 𝕄_{k}(r + 1) ⟶ 𝕄_{k}(r) ⟶ 𝕁_{k,m}(r) & (k : 偶数) \\ 0 ⟶ 𝕄_{k}(r + 1) ⟶ 𝕄_{k}(r) ⟶ 𝕁_{k,m}(r + 1) & (k : 奇数) \end{cases}

が得られる。これにより、次元の評価

dim 𝕄_{k} ≤ \begin{cases}∑_{r=0}^{∞} dim 𝕁_{k,r}(r) & (k : 偶数) \\ ∑_{r=0}^{∞} dim 𝕁_{k,r}(r + 1) & (k : 奇数) \end{cases}

が得られ、右辺の次元を前節に従って具体的に計算することにより、不等式

∑_{k∈ℤ}(dim 𝕄_{k}) x^{k} ≤ \frac{1 + x^{35}}{(1 − x^{4})(1 − x^{6})(1 − x^{10})(1 − x^{12})}

が導かれる。ただし、ここで記号「≤」は, 各辺を x についての形式的巾級数と見て各項の係数ごとに「≤」が成り立っているという意味で用いた。

実際にはこの不等式は等号が成立するのであるが、それを証明するためには、実際に生成元を構成し、その代数的独立性を調べねばならない。井草先生の論文 [Ig1, Ig2] では、生成元はテータ級数を用いて構成されている。しかし、代数的独立性を見る場合には、重み偶数の４つの元については、斎藤-黒川リフトを用いて構成すると証明が容易である。

Eichiker-Zagier の本の定理 6.2 に従って

E_{4}(Z) :=Lift (e_{4,1}(z, τ)) = e_{4}(τ) + O(p) ∈ 𝕄_{4}(0),
E_{6}(Z) :=Lift (e_{6,1}(z, τ)) = e_{6}(τ) + O(p) ∈ 𝕄_{6}(0),
Δ_{10}(Z) :=Lift (Δ(τ)φ_{−2,1}(z, τ)) = Δ(τ)φ_{−2,1}(z, τ)p + O(p^{2}) ∈ 𝕄_{10}(1),
Δ_{12}(Z) :=Lift (Δ(τ)φ_{0,1}(z, τ)) = Δ(τ)φ_{0,1}(z, τ)p + O(p^{2}) ∈ 𝕄_{12}(1)

と生成元を定める。もしこれらの元が代数的独立でなかったとすると、各係数が 0 でない関係式

∑_{4b_{i}+6c_{i}+10d_{i}+12e_{i}=k} a_{i}E_{4}^{b_{i}}E_{6}^{c_{i}}Δ_{10}^{d_{i}}Δ_{12}^{e_{i}} = 0

があることになる。ここで s := min{d_{i} +e_{i}} および t := min{d_{i} | d_{i} +e_{i} = s} と定めて p^{s}z^{2t} の係数を見る。この係数は e_{i} = s − t かつ d_{i} = t である項からしか発生せず、

∑_{4b_{i}+6c_{i}+10t+12(s−t)=k} a_{i}e_{4}^{b_{i}}e_{6}^{c_{i}}(−4π^{2}Δ)^{t}(12Δ)^{s−t} = 0

が得られる。即ち ∑_{4b_{i}+6c_{i}+10t+12(s−t)=k} a_{i}e_{4}^{b_{i}}e_{6}^{c_{i}} = 0 となるが、これは e_{4} と e_{6} が代数的独立であることと矛盾する。よって E_{4}, E_{6}, Δ_{10}, Δ_{12} は代数的独立である。

重み 35 の生成元 Δ_{35} の構成法については、井草先生の論文 [Ig2] にあるテータ級数を用いる方法のほか, Borchards の無限積 [Bo1, Bo2] による方法 (Gritsenko-Nikulin [GN]) や Rankin-Cohen-Ibukiyama 微分作用素を用いる方法 (伊吹山 [Ib]) が知られている。特に最後の方法は簡明かつ有用であるため、引用しておく。定理

Δ_{35} = det (\begin{matrix}4E_{4} & 6E_{6} & 10Δ_{10} & 12Δ_{12} \\ \frac{∂E_{4}}{∂ω} & \frac{∂E_{6}}{∂ω} & \frac{∂Δ_{10}}{∂ω} & \frac{∂Δ_{12}}{∂ω} \\ \frac{∂E_{4}}{∂z} & \frac{∂E_{6}}{∂z} & \frac{∂Δ_{10}}{∂z} & \frac{∂Δ_{12}}{∂z} \\ \frac{∂E_{4}}{∂τ} & \frac{∂E_{6}}{∂τ} & \frac{∂Δ_{10}}{∂τ} & \frac{∂Δ_{12}}{∂τ} \end{matrix} ) ∈ 𝕄_{35}(2)

2.3 応用

ヤコビ形式を用いて保型形式の次元を評価し保型形式環の構造を決定する（あるいは生成元を構成する）方法は、他の保型形式、特に IV 型対称領域上の保型形式に対しても有効である。次の場合に同様の証明が知られている。・次数２のジーゲル保型形式で群が Γ_{0}(2), Γ_{0}(3) の場合・次数２のエルミート保型形式で数体が ℚ(\sqrt{−1}), ℚ(\sqrt{−3}) の場合

3 微分作用素を用いた保型形式環の構造決定法

3.1 Witt 保型形式

まず最初に、 Witt 保型形式を定義する。

定義 k ∈ ℤ とする。正則関数 ψ : ℍ × ℍ → ℂ が重み k の Witt 保型形式であるとは、 ψ が、片方の変数を固定するごとにもう一方の変数について重み k の楕円モジュラー形式であることをいう。

重み k の Witt 保型形式全体のなす ℂ-ベクトル空間を 𝕎_{k} と書くことにする。特に、この定義において楕円モジュラー形式の部分をより強く M_{k}(r) の元であると変えたもののなす空間を 𝕎_{k}(r) と書くことにする。

さらに、

𝕎_{k}^{+}(r) :={ ψ ∈ 𝕎_{k}(r) | ψ(τ, ω) = ψ(ω, τ) },
𝕎_{k}^{−}(r) :={ ψ ∈ 𝕎_{k}(r) | ψ(τ, ω) = −ψ(ω, τ) }

と定める。これらの構造は、たとえば Witt の論文 [Wi] の付録に書かれている方針に従うなどして、極めて容易に決定できる。

⨁_{k∈ℤ}𝕎_{k}^{+}(0) = ℂ[e_{4}(τ)e_{4}(ω), e_{6}(τ)e_{6}(ω), Δ(τ)Δ(ω)]

𝕎_{k}^{−}(0) = (e_{4}(τ)^{3}e_{6}(ω)^{2} − e_{6}(τ)^{2}e_{4}(ω)^{3}) 𝕎_{k−12}^{+}(0)

𝕎_{k}^{+}(r) = (Δ(τ)Δ(ω))^{r} 𝕎_{k−12r}^{+}(0)
𝕎_{k}^{−}(r) = (Δ(τ)Δ(ω))^{r} 𝕎_{k−12r}^{−}(0)

3.2 井草の定理の証明（２）

ジーゲル保型形式 F (Z) ∈ 𝕄_{k} 上の微分作用素 D_{m} を

D_{m}(F)(τ, ω) := (\frac{1}{(2π\sqrt{−1})^{m}} \frac{∂^{m}F}{∂z^{m}} ) (\begin{matrix}τ & 0 \\ 0 & ω \end{matrix})

で定義し、

𝕄_{k}[r] := { F ∈ 𝕄_{k} | D_{m}(F) = 0 (m < r) }

と書くことにする。微分の連鎖律により F ∈ 𝕄_{k}[r] であれば D_{r}(F) ∈ 𝕎_{k+r} である。これにより、完全列

0 ⟶ 𝕄_{k}[r + 1] ⟶ 𝕄_{k}[r] ⟶^{D_{r}} 𝕎_{k+r}

が得られる。ここで、写像 D_{r} は全射ではない。 F ∈ 𝕄_{k} の変換規則 F ( \begin{matrix}τ & z \\ z & ω \end{matrix}) = (−1)^{k}F ( \begin{matrix}ω & z \\ z & τ \end{matrix}) および重み奇数の Witt 保型形式が存在しないことに注意し、さらに k の偶奇で場合分けして考えることにより、少し精密な完全列

\begin{cases}0 ⟶ 𝕄_{k}[2r + 2] ⟶ 𝕄_{k}[2r] ⟶ 𝕎_{k+2r}^{+}(0) & (k : 偶数) \\ 0 ⟶ 𝕄_{k}[2r + 3] ⟶ 𝕄_{k}[2r + 1] ⟶ 𝕎_{k+2r+1}^{−}(0) & (k : 奇数) \end{cases}

が得られる。しかしまだ、右端の矢印は全射ではない。ジーゲル保型形式のフーリエ展開を

F (Z) = ∑_{n,l,m} a(n, l, m)q^{n}ζ^{l}p^{m} ∈ 𝕄_{k}[r]

とすれば

(D_{r}F)(τ, ω) = ∑_{n,m} (∑_{l} a(n, l, m)r^{l}) q^{n}p^{m}

と書けるので、ジーゲル保型形式の変換規則によるフーリエ係数間の関係と、ファンデルモンドの行列式を使って計算すれば、 n または m が小さいところでは a(n, l, m) = 0 となることがわかる。これにより、完全列

\begin{cases}0 ⟶ 𝕄_{k}[2r + 2] ⟶ 𝕄_{k}[2r] ⟶ 𝕎_{k+2r}^{+}(r) & (k : 偶数) \\ 0 ⟶ 𝕄_{k}[2r + 3] ⟶ 𝕄_{k}[2r + 1] ⟶ 𝕎_{k+2r+1}^{−}(r + 2) & (k : 奇数) \end{cases}

が得られる。これにより、次元の評価

dim 𝕄_{k} ≤ \begin{cases}∑_{r=0}^{∞} dim 𝕎_{k+2r}^{+}(r) & (k : 偶数) \\ ∑_{r=0}^{∞} dim 𝕎_{k+2r+1}^{−}(r + 2) & (k : 奇数) \end{cases}

∑_{k∈ℤ}(dim 𝕄_{k}) x^{k} ≤ \frac{1 + x^{35}}{(1 − x^{4})(1 − x^{6})(1 − x^{10})(1 − x^{12})}

が導かれる。証明の残りの部分はヤコビ形式を用いた場合と同様である。

3.3 応用

微分作用素を用いて保型形式の次元を評価し保型形式環の構造を決定する（あるいは生成元を構成する）方法は、他の保型形式、特にヒルベルト保型形式に対しても有効である。次の場合に同様の証明が知られている。・次数２のジーゲル保型形式で群が Γ_{0}(2), Γ_{0}(3), Γ_{0}(4) の場合・上と同じ群で、スカラー値ではなくベクトル値の場合・ヒルベルト保型形式で数体が ℚ(\sqrt{2}), ℚ(\sqrt{3}), ℚ(\sqrt{5}) の場合

References

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