ヤコビ形式を用いた保型形式環の構造決定問題へのアプローチ

青木宏樹（東京理科大学・理工学部）

保型形式環の構造を決定する問題は一般には難しいとされているが、最近、ヤコビ形式を用いることにより、いくつかの保型形式環の構造（あるいは生成元）が比較的容易に決定できることがわかった。今までにいくつかの研究集会などで研究が進むたびにその成果を個別に報告していたが、今回は基本的アイデアと現在までの研究の進捗状況について総合的な報告を行う。

以下に一番簡単な場合のアイデアを述べる。 𝕄_{k} を重み k の保型形式のなすベクトル空間、 𝕁_{k,m} を重み k 指数 m のヤコビ形式のなすベクトル空間とする。ここで、 𝕄_{k} と 𝕁_{k,m} は次の２条件を満たすものとする。

（１） F ∈ 𝕄_{k} はフーリエ・ヤコビ展開

F (τ, \underline{z}, ω) = ∑_{m=0}^{∞} φ_{m}(τ, \underline{z})e(mω)

を持ち、 φ_{m}(τ, \underline{z}) ∈ 𝕁_{k,m} となる。ここで τ と ω は１変数だが\underline{z} は多変数でもかまわない。なお、射影 P_{m} : 𝕄_{k} → 𝕁_{k,m} を F ↦ φ_{m} で定義しておく。（２） F ∈ 𝕄_{k} は変換規則 F (τ, \underline{z}, ω) = F (ω, \underline{z}, τ) を満たす。

このとき、

𝕄_{k}(r) := \{F (τ, \underline{z}, ω) = ∑_{m=r}^{∞} φ_{m}(τ, \underline{z})e(mω) ∈ 𝕄_{k}\}

𝕁_{k,m}(r) := \{φ(τ, \underline{z}) = ∑_{n=r}^{∞} g_{n}(\underline{z})e(nτ) ∈ 𝕁_{k,m}\}

とおけば、完全列

0 ⟶ 𝕄_{k}(r + 1) ⟶ 𝕄_{k}(r) ⟶^{P_{r}} 𝕁_{k,r}(r)

が得られるので、これより次元の評価式

dim 𝕄_{k} ≤ ∑_{r=0}^{∞} dim 𝕁_{k,r}(r)

が得られる。右辺は Eichler-Zagier の方法により容易に計算できる（あるいは上からの評価が得られる）。

一見この評価は極めて甘く思える。実際、右辺が有限の値に収束するかどうかでさえ自明ではない。しかし実は、この評価式でぴったり等号が成立している場合が少なからず存在する。この場合にはある程度ヤコビ形式の形がわかっているので、生成元の構成も比較的容易にできる可能性がある。逆にいえば、ヤコビ形式の形を見ながら評価式の上限一杯まで保型形式が構成できてしまえば、それで保型形式の生成元と次元がわかってしまったことになるのである。評価式の等号が成り立つ場合として現在までに知られているのは・種数２のジーゲル保型形式（井草の定理が簡単に証明できる）・種数２のジーゲル保型形式で不連続群を変えたいくつかの場合・ガウス数体 ℚ(\sqrt{−1}) に関する種数２のエルミート保型形式などである。