Hilbert 保型形式の次元の評価

青木宏樹（東京理科大学・理工学部）

保型形式環の次元を決定する方法としては次元公式の利用などが一般的であるが、ここでは、まったく別の新しい方法で次元を評価し求める試みを紹介する。

K := ℚ (\sqrt{m}) を実２次体、 O をその整数環とする。 x ∈ K の共役を x′ と書くことにする。 ℍ = {τ ∈ ℂ | Im(τ) > 0} で複素上半平面をあらわすこととし、 Γ := SL_{2}(O) とおく。

定義 F ∈ Hol(ℍ^{2}, ℂ) が重み (k_{1}, k_{2}) の Hilbert 保型形式 ( k_{1}, k_{2} ∈ ℤ ) であるとは、任意の ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Γ に対して次の変換規則が成り立つことである。

F (τ_{1}, τ_{2}) = (cτ_{1} + d)^{−k_{1}} (c′τ_{2} + d′)^{−k_{2}} F (\frac{aτ_{1} + b}{cτ_{1} + d}, \frac{a′τ_{2} + b′}{c′τ_{2} + d′} )

記法 A_{k_{1},k_{2}} ：重み (k_{1}, k_{2}) の Hilbert 保型形式全体のなす ℂ-ベクトル空間
M_{k} ： SL_{2}(ℤ) に関する重み k の保型形式全体のなす ℂ-ベクトル空間

写像 D_{n} : Hol(ℍ^{2}, ℂ) → Hol(ℍ, ℂ) を

(D_{n}F) (τ) := ((\frac{∂}{∂τ_{1}} − \frac{∂}{∂τ_{2}} )^{n} F ) (τ, τ).

で定義し、

A_{k_{1},k_{2}}(n) := {F ∈ A_{k_{1},k_{2}} | D_{r}(F) = 0 if r < n} ,

と書くことにする。変換規則から D_{n}(A_{k_{1},k_{2}}(n)) ⊂ M_{k_{1}+k_{2}+2n} が示せ、完全列

0 ⟶ A_{k_{1},k_{2}}(n + 1) ⟶ A_{k_{1},k_{2}}(n) ⟶^{D_{n}} M_{k_{1}+k_{2}+2n}

が得られる。ここで、 M_{k_{1}+k_{2}+2n} は A_{k_{1},k_{2}}(n) の D_{n} による像より (かなり) 大きく、 Koecher principle や変換規則を使ってフーリエ係数を詳しく調べることにより、 D_{n} によって得られる保型形式は、そのフーリエ係数の先頭から何項かは消えていることが示せる。このようにして（おそらく Image(D_{n}) にかなり近いであろう） M_{k_{1}+k_{2}+2n} の部分空間 W_{n} が見つかり、完全列

0 ⟶ A_{k_{1},k_{2}}(n + 1) ⟶ A_{k_{1},k_{2}}(n) ⟶^{D_{n}} W_{n}

が得られる。よって、

dim_{ℂ} A_{k_{1},k_{2}} ≤ ∑_{n=0}^{∞} dim_{ℂ} W_{n}

が示される。

一見この評価は極めて甘く思える。実際、右辺が有限の値に収束するかどうかでさえ自明ではない。しかし実は、この評価式でぴったり等号が成立しているような W_{n} を容易に見つけられる場合が、いくつか存在する（下記）。

◎ K = ℚ(\sqrt{5}) の場合

• A^{sym} := ⨁_{k∈ℤ}A_{k,k}^{sym} = ℂ[g_{2}, g_{5}, g_{6}] ( K. B. Gundlach )

• A^{skew-sym} := ⨁_{k∈ℤ}A_{k,k}^{skew-sym} = g_{15}A^{sym} ( K. B. Gundlach )

• ⨁_{k∈ℤ}A_{k,k+2} = g_{7,9}A^{sym} + g_{8,10}A^{sym} + g_{11,13}A^{sym}

(関係式 g_{6}g_{7,9} + g_{5}g_{8,10} + g_{2}g_{11,13} = 0 )

• ⨁_{k∈ℤ}A_{k,k+4} = g_{4,8}A^{sym} ⊕ g_{7,11}A^{sym}

◎ K = ℚ(\sqrt{2}) の場合

◎ K = ℚ(\sqrt{3}) の場合

参考文献

1. K. B. Gundlach, Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahlkörpers ℚ(\sqrt{5}), Math. Ann., 152(1963), 226–256.

2. M. H. Lee, Hilbert Modular Pseudodifferential Operators, Proc. Amer. Math. Soc., 129(2001), 3151–3160.