Hilbert 保型形式の次元の評価

Hiroki Aoki （青木宏樹）

Tokyo University of Science （東京理科大学・理工学部）

話を簡単にするため、実２次体 K が ℚ(\sqrt{5}) の場合に限って講演を行う。類似の結果は、他にもいくつかの場合に成立する。（講演の最後に述べる）

[記号など] K := ℚ(\sqrt{5}) 実２次体

ε := \frac{1 + \sqrt{5}}{2} K の基本単数

O := ℤ + ℤε K の整数環

ν = x + y\sqrt{5} ∈ K に対し、 ν′ := x − y\sqrt{5} ∈ K および tr(ν) := ν + ν′ = 2x ∈ ℚ と定める。

O^{∗} := {ν ∈ K| tr(μν) ∈ ℤ (∀μ ∈ O)}
= \{ν = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{5}}{10}y ∈ K | {x, y ∈ ℤ \atop x + y ∈ 2ℤ}\}

ℍ := {τ ∈ ℂ | Im(τ) > 0} [定義] k, l ∈ ℤ とする。 ℍ^{2} 上の正則関数 F が次の変換規則を満たすとき、重み (k, l) の Hilbert 保型形式であるという。 (注： k + l が奇数なら F = 0 ) F (τ_{1}, τ_{2}) = (cτ_{1} + d)^{−k} (c′τ_{2} + d′)^{−l}

×F (\frac{aτ_{1} + b}{cτ_{1} + d}, \frac{a′τ_{2} + b′}{c′τ_{2} + d′})

( for ∀ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(O) )

[記法] A_{k,l} : 重み (k, l) の Hilbert 保型形式全体 M_{k} : 重み k の SL_{2}(ℤ) 保型形式全体

[定義] F ∈ A_{k,k} が symmetric ⇔ F (τ_{1}, τ_{2}) = F (τ_{2}, τ_{1}) これを F ∈ A_{k}^{sym} と書く。

F ∈ A_{k,k} が skew-symmetric ⇔ F (τ_{1}, τ_{2}) = −F (τ_{2}, τ_{1}) これを F ∈ A_{k}^{skew-sym} と書く。 [フーリエ展開] F ∈ A_{k,l} のフーリエ展開を考える。

F (τ_{1}, τ_{2}) = ∑_{\begin{matrix}ν∈O^{∗} \\ ν≧0, ν′≧0 \end{matrix}}c(ν) e (ντ_{1} + ν′τ_{2}),

( e(z) := exp(2π\sqrt{−1}z) )

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & ε \\ 0 & 1 \end{matrix} ) の変換規則（周期性）より、

c(ν) ≠ 0 ⇒ ν ∈ O^{∗} Köcher principle より、

c(ν) ≠ 0 ⇒ ν ≧ 0, ν′ ≧ 0

( \begin{matrix}−ε & 0 \\ 0 & ε′ \end{matrix} ) の変換規則より、

c(ν) = ε^{−k}ε′^{−l}c(ε^{2}ν) が成り立つ。

また、特に、 F ∈ A_{k}^{sym} ⇒ c(ν) = c(ν′) F ∈ A_{k}^{skew-sym} ⇒ c(ν) = −c(ν′) が成り立つ。 [フーリエ展開の係数の存在場所の図]

F (τ_{1}, τ_{2}) = ∑_{\begin{matrix}ν∈O^{∗} \\ ν≧0, ν′≧0 \end{matrix}}c(ν) e (ντ_{1} + ν′τ_{2})

ν = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{5}}{10}y

[figure: x; O; 1; 2; 3; 4; 5; y; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ★; ∘; ∘; ∘; •; ∘; ∘; •; •; ∘; ∘; •; •; •; ∘; ∘; •; •; •; •; ∘; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; ⋆; y = x; y = −x; y = \sqrt{5}x; y = −\sqrt{5}x; c(ν) = ε^{−k}ε′^{−l}c(ε^{2}ν)]

[微分作用素]

D := \frac{\sqrt{5}}{2π\sqrt{−1}} (\frac{∂}{∂τ_{1}} − \frac{∂}{∂τ_{2}})

とおき、 n ∈ ℕ ∪ {0} に対し、 (D_{n}F) (τ) := (D^{n}F) (τ, τ) と定義する。

F (τ_{1}, τ_{2}) = ∑_{\begin{matrix}ν∈O^{∗} \\ ν≧0, ν′≧0 \end{matrix}}c(ν) e (ντ_{1} + ν′τ_{2})

のとき、

(D_{n}F) (τ) = ∑_{\begin{matrix}ν=\frac{1}{2}x+^{\frac{\sqrt{5}}{10}}y∈O^{∗} \\ ν≧0, ν′≧0 \end{matrix}} y^{n}c(ν) e(xτ)

である。

ここで A_{k,l}(n) := {F ∈ A_{k,l} | D_{r}F = 0 if r < n} と書くことにすると、次の完全列が得られる。

0 ⟶ A_{k,l}(n + 1) ↪ A_{k,l}(n) ⟶^{D_{n}} M_{k+l+2n}

右端の矢印は、一般には全射ではない。 [考察] フーリエ展開の係数についての条件から、 D_{n} の像のフーリエ展開の先頭の数項は消えていることがわかる。そのような M_{k+l+2n} の部分空間を W_{n} と書くことにすれば、完全列

0 ⟶ A_{k,l}(n + 1) ↪ A_{k,l}(n) ⟶^{D_{n}} W_{n}

が得られる。（もちろん、全射であることは保証されないが…）

[結論] したがって、不等式

dim_{ℂ} A_{k,l} ≦ ∑_{n=0}^{∞} dim_{ℂ} W_{n}

が成り立つ。

一見この評価は極めて甘く思える。実際、右辺が有限の値に収束するかどうかでさえ自明ではない。しかし、実は、この評価式でぴったり等号が成立している場合が、いくつか存在する。 [具体例]

(A) K = ℚ(\sqrt{5}) のとき

(A1) l = k かつ symmetric のとき

A_{∗}^{sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{sym} = ℂ[g_{2}, g_{5}, g_{6}]

( Gundlach )

(A2) l = k かつ skew-symmetric のとき A_{∗}^{skew-sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{skew-sym} = g_{15}A_{∗}^{sym}

( Gundlach )

(A3) l = k + 2 のとき

⨁_{k∈ℤ} A_{k,k+2} = g_{7,9}A_{∗}^{sym} + g_{8,10}A_{∗}^{sym} + g_{11,13}A_{∗}^{sym}

(関係式 g_{6}g_{7,9} + g_{5}g_{8,10} + g_{2}g_{11,13} = 0 )

(A4) l = k + 4 のとき

⨁_{k∈ℤ} A_{k,k+4} = g_{4,8}A_{∗}^{sym} ⊕ g_{7,11}A_{∗}^{sym}

(B) K = ℚ(\sqrt{2}) のとき

(B1) l = k かつ symmetric のとき

A_{∗}^{sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{sym}

= ℂ[g_{2}, g_{4}, g_{6}] + g_{9}ℂ[g_{2}, g_{4}, g_{6}] ( Gundlach, Hilzebruch, Nagaoka )

(B2) l = k かつ skew-symmetric のとき A_{∗}^{skew-sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{skew-sym} = g_{5}A_{∗}^{sym}

( Müller )

(C) K = ℚ(\sqrt{3}) のとき

(C1) l = k かつ symmetric のとき

A_{∗}^{sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{sym} = ℂ[g_{2}, g_{3}, g_{4}]

( Gundlach, Hilzebruch )

(C2) l = k かつ skew-symmetric のとき A_{∗}^{skew-sym} := ⨁_{k∈ℤ} A_{k}^{skew-sym} = g_{11}A_{∗}^{sym}

( Gundlach, Hilzebruch )

(C3) l = k + 2 のとき

⨁_{k∈ℤ} A_{k,k+2} = g_{5,7}A_{∗}^{sym} + g_{6,8}A_{∗}^{sym} + g_{7,9}A_{∗}^{sym}

(関係式 g_{4}g_{5,7} + g_{3}g_{6,8} + g_{2}g_{7,9} = 0 )