Borcherds の無限積 -O(2, 2) の場合-

河合悠介 (京大理)

1 序

本稿では R.E.Borcherds [Bo1], [Bo2] によって与えられ, その後 J.H.Bruinier [Br1], [Br2] によって精密化された IV 型対称領域の上の多変数の保型形式の構成を Hilbert modular forms の場合に解説する. Borcherds の構成とは, 複素上半平面 ℌ 上の正則保型形式で cusp に高々極を持つものを与えたときに, これを theta 積分し “exponentiate” することで Heegner divisor を零点または極とするような有理型保型形式を構成する一種の lifting である. Heegner divisor とは, Hirzebruch-Zagier divisor の一つの高次元化である. Bruinier はこの構成を non-holomorphic な Poincare 級数にまで拡張し, その theta 積分である保型 Green 関数を考えることでより精密な結果を得た. しかし Hilbert modular forms の場合には non-holomorphic Poincare 級数を定義するのに Hecke trick を用いる必要があり, むしろ保型 Green 関数の構成を直接に与える方が簡明で, ここでもそのような方法をとる.

また, 保型 Green 関数を Fourier 展開してその non-holomorphic part を考えると, Hirzebruch-Zagier divisor の Chern class の具体的な記述を得られることがわかる. これは以前から知られていた結果の別のアプローチである. またこのことと Borcherds lifting の代数的な読み替えとから, elliptic cusp forms の空間から Hilbert modular surface の second cohomology への準同型が得られる. いまの場合, これは Doi-Naganuma map に他ならない. そして Doi-Naganuma map の性質から, Hirzebruch-Zagier divisor の線形結合を divisor にもつような保型形式は Borcherds lifting によって得られるという, 逆定理が証明される.

なお, Borcherds の論文 [Bo1] については [Aoki], [Ikeda] 等の日本語での解説もある. そこでのアプローチは Borcherds product を直接に定義するもので, lattice が unimodular の場合に限定されるため Hilbert modular form を考えることはできないが, 興味深いアイデアや例も多く含まれるので合わせて読まれるとよい.

以下の解説は主に [Br1] によっており, 証明のない部分やより詳しい内容は原論文を読まれたい.

2 Nearly holomorphic modular forms

まず, Borcherds の構成で input space となる保型形式を定義する.

以下 p ≡ 1 mod 4 を素数, K = ℚ(\sqrt{p}) とし, 𝒪 ⊂ K を整数環, 𝔡 = (\sqrt{p}) を different とする. K の非自明な自己同型を x ↦ x′ で表し, Tr(x) = x + x′, N(x) = xx′ とおく. χ_{p}(·) = (\frac{p}{·}) とする.

いま, even integral lattice (L, q) を

L = \{(\begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix}) | a, b ∈ ℤ, λ ∈ 𝒪\} , q(A) = det(A) (A ∈ L)

によって定める. L は符合 (2, 2) をもち, その dual lattice は

L′ = \{(\begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix}) | a, b ∈ ℤ, λ ∈ 𝔡^{−1}\} ,

discriminant group は L′/L ≃ ℤ/pℤ となる. このとき SL_{2}(𝒪) は L に A ↦ α A^{t}α′ (A ∈ L, α ∈ SL_{2}(𝒪)) で直交変換として作用し, これから L′/L 上に誘導される作用は自明である.

定義 2.1. k ∈ 2ℤ に対し, 正則関数 f : ℌ → ℂ が保型性

f(ατ) = χ_{p}(d) (cτ + d)^{k}f(τ), ∀α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(p)

をもつとする. 更にこれが全ての cusp で高々極を持つとき, weakly holomorphic modular form であるという. また f(τ) = ∑\begin{matrix}n∈ℤ \\ n≫−∞ \end{matrix} c(n) q^{n} と Fourier 展開されるとき ∑_{n<0} c(n) q^{n} を f の

principal part (または singular part) という.

Weakly holomorphic, holomorphic, cusp forms のなすベクトル空間をそれぞれ W_{k}(p, χ_{p}), M_{k}(p, χ_{p}), S_{k}(p, χ_{p}) で表す. W_{k}(p, χ_{p}) は無限次元である. また ε ∈ {±1} に対し, sign condition “ χ_{p}(n) = −ε ⇒ c(n) = 0” をみたす部分空間をそれぞれ W_{k}^{ε}(p, χ_{p}), M_{k}^{ε}(p, χ_{p}), S_{k}^{ε}(p, χ_{p}) とする.

このとき New form theory により W_{k}(p, χ_{p}), M_{k}(p, χ_{p}), S_{k}(p, χ_{p}) は plus subspace と minus subspace の直和に分かれることが示される ([Za1] §5 または [Miyake] §4.6). 特に, 分解 S_{k}(p, χ_{p}) = S_{k}^{+}(p, χ_{p}) ⊕ S_{k}^{−}(p, χ_{p}) において dim S_{k}^{+}(p, χ_{p}) = dim S_{k}^{−}(p, χ_{p}) である.

注意 1. これら plus subspace はメタプレクティック群 Mp_{2}(ℤ) の群環 ℂ[L′/L] 上の Weil 表現に関するベクトル値の保型形式の空間と思うことができる. そのような定式化は [Bo2] において用いられ, full modular な elliptic modular forms, Kohnen plus space, holomorphic Jacobi forms, skew holomorphic Jacobi forms などを統一的に記述できるメリットもあり, より自然ではあるがここでは述べない. いまの場合の対応について詳しくは [BB].

さて, k ≥ 2 に対して M_{k}^{ε}(p, χ_{p}) の Eisenstein 級数を考える. M_{k}(p, χ_{p}) には Γ_{0}(p) の cusp ∞ と 0 に対応して Eisenstein 級数

E_{k}^{∞}(τ) = 1 + \frac{2}{L(1 − k, χ_{p})} ∑_{n≥1} ∑_{d|n} d^{k−1}χ_{p}(d) q^{n}
E_{k}^{0}(τ) = ∑_{n≥1} ∑_{d|n} d^{k−1}χ_{p}(n/d) q^{n}

が定義される. このときこれらの一次結合

E_{k}^{ε}(τ) = 1 + ∑_{n≥1} B(n) q^{n} = 1 + \frac{2}{L(1 − k, χ_{p})} ∑_{n≥1} ∑_{d|n} d^{k−1}(χ_{p}(d) + εχ_{p}(n/d))q^{n}

は M_{k}^{ε}(p, χ_{p}) に含まれることが容易にわかる. これによって直和分解 M_{k}^{ε}(p, χ_{p}) = ℂE_{k}^{ε} ⊕S_{k}^{ε}(p, χ_{p}) を得る.

3 Hirzebruch-Zagier divisor と保型 Green 関数

以下, X_{K} = SL_{2}(𝒪)\ℌ^{2} とおく.

定義 3.1. m ∈ ℤ_{>0} に対し, ℌ^{2} 上の SL_{2}(𝒪)-invariant divisor

T (m) = ⋃_{\begin{matrix}( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈L′ \\ ab−N(λ)= \frac{m}{p} \end{matrix}} \{ (z_{1}, z_{2}) ∈ ℌ^{2} | az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b = 0 \}

の定める X_{K} 上の algebraic divisor を Hirzebruch-Zagier divisor とよび, 同じ T (m) で表す. ただし, T (m) の既約成分の重複度は全て 1 とする.

すぐわかるように, T (m) = ϕ ⇔ χ_{p}(m) = −1 である. また m が square-free のときは p が素数により T (m) は既約であり, T (m) は m が 𝒪 の ideal のノルムならば modular curve X_{0}(m) と, m が 𝒪 の ideal のノルムでなく χ_{p}(m) = 1 ならば indefinite quaternion algebra Q_{m} = (\frac{p, −m/p}{ℚ}) のある order に付随した Shimura curve と birational である.

さて, T (m) 上で logarithmic singularity をもつ ℌ^{2} 上の SL_{2}(𝒪)-invariant な関数を構成することを考える. ここで関数 f が T (m) 上に logarithmic singularity をもつとは, ℌ^{2} の各点で f から T (m) の定義方程式の log を除くと局所的に実解析関数の制限となっていることをいう.

それにはまず ∑\begin{matrix}A∈L′ \\ q(A)=m/p \end{matrix} g(z_{1}, Az_{2}) の形の級数で, g(z_{1}, z_{2}) = log(|z_{1}\overline{z}_{2} + 1|/|z_{1}z_{2} + 1|) と選

ぶことが考えられるが, これは級数の収束性に問題がある. そこで次のように正則化を考える.

g(z_{1}, z_{2}) を 1+ \frac{|z_{1}z_{2}+1|^{2}}{2y_{1}y_{2}} の関数と仮定する (これは z_{1} と −1/z_{2} の hyperbolic distance の cosh である). ℌ 上の Laplacian を Δ = y^{2}(\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) とおく. これを ℌ^{2} のどちらかの成分に作用させる. 上でとった g は Δg = 0 の解なので, ε を任意に小さくとって Δg = εg の解を考えることにする. この微分方程式を書き換えると, Legendre の微分方程式

\{(1 − t^{2})\frac{d^{2}}{dt^{2}} − 2t\frac{d}{dt} + ε\} g(t) = 0

となる. ε = s(s−1), Re (s) > 1 と置くとき, この方程式の t → ∞ で減少する解は第二種 Legendre 関数 Q_{s−1}(t) によって（定数倍を除いて）与えられる. t > 1, Re (s) > 0 では積分表示

Q_{s−1}(t) = ∫_{0}^{∞}(t + \sqrt{t^{2} − 1} cosh u)^{−s}du

が成立し, Q_{0}(t) = \frac{1}{2} log (\frac{t+1}{t−1}) である. そこで次のように定義する.

定義 3.2. (z_{1}, z_{2}) ∈ ℌ^{2} ∖ T (m), Re (s) > 1 に対して

Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) = ∑_{\begin{matrix}( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈L′ \\ ab−N(λ)= \frac{m}{p} \end{matrix}} Q_{s−1} (1 + \frac{| az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b |^{2}}{2my_{1}y_{2}/p} )

と定める. ただし, T (m) = ϕ のときは Φ_{m} = 0 と定める.

するとこの級数は定義の領域において広義一様に絶対収束することが示される. これより直ちに Δ Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) = s(s − 1) Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) を得る.

注意 2. K = ℚ のときを考えてみると, Φ_{m} は SL_{2}(ℤ) に関する resolvent kernel function そのものである. これについては [Hej] に詳しい.

Fourier 展開を見ることによって, Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) は s について Re (s) > \frac{3}{4} の領域へ有理型に解析接続され, s = 1 での simple pole の他は正則であることが証明される. そこで, T (m) に付随した保型 Green 関数を次で定める.

定義 3.3. Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) = “ Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) のs = 1 での Laurent 展開の定数項”

なお, Φ_{m}(z_{1}, z_{2}; s) の s = 1 での留数は (z_{1}, z_{2}) によらない定数 −\frac{1}{2}B_{0}(m) であることを注意しておく. 従って Δ Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) = −\frac{B_{0}(m)}{2} である.

これが所望の性質を備えていることを見ていく. SL_{2}(𝒪)-invariant なのは明らか. singularity は次のように与えられる.

U ⊂ ℌ^{2} を relatively compact open subset とするとき

ℳ_{U,m} = \{ (\begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix}) ∈ L′ | ab − N(λ) = \frac{m}{p}, ∃(z_{1}, z_{2}) ∈ U s.t. az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b = 0 \}

は有限集合である. これに positivity condition を加えて

ℳ_{U,m}^{+} = \{ (\begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix}) ∈ ℳ_{U,m} | a > 0 または(a = 0 かつλ > 0) \}

とおく. 次が示される.

定理 3.1. U ∖ T (m) 上の関数

Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) + 2 ∑_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}} log | az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b |

は U 上の実解析関数に延長される.

さて, Φ_{m} が logarithmic な singularity をもつことから, これを “exponentiate” することで T (m) 上に零点または極をもつ保型形式を得ることを考えたい. しかし実解析関数である Φ_{m} を単に指数の肩にのせても正則な関数となるわけではない. そこで Φ_{m} を Fourier 展開して正則な部分だけを取り出すことを考える.

まず

S(m) = \{ (z_{1}, z_{2}) ∈ ℌ^{2} | ∃λ ∈ 𝔡^{−1}, N(λ) = −\frac{m}{p}, λy_{1} + λ′y_{2} = 0 \}

とおく. S(m) は実余次元 1 なので ℌ^{2}∖S(m) は非連結である. これの各連結成分を Weyl chamber とよぶ. W を Weyl chamber とするとき, λ ∈ L′, (λ, W) > 0 をある (従って任意の) (z_{1}, z_{2}) ∈ W に対し λy_{1} + λ′y_{2} > 0 が成り立つこととする.

定理 3.2. (z_{1}, z_{2}) ∈ W, y_{1}y_{2} > \frac{m}{p} のとき, Φ_{m} は絶対かつ広義一様収束する Fourier 級数

Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) = L + 4π(ρ_{W} y_{1} + ρ′_{W} y_{2}) + 2 ∑_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ (λ,W)>0 \end{matrix}} q_{pλλ′}(m) log |1 − e(λz_{1} + λ′z_{2})|

+ \frac{B(m)}{2} log(y_{1}y_{2}) + 2 ∑_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ λ>0, λ′<0 \end{matrix}} p_{|pλλ′|}(m) log |1 − e(λz_{1} + λ′\overline{z}_{2})|

に展開される. ここに L は定数, B(m) は E_{2}^{+} の Fourier 係数で, q_{n}(m) と p_{n}(m) はそれぞれ W_{2}(p, χ_{p}) に含まれるある Poincare 級数の m 番目の Fourier 係数である. ρ_{W} は適当な K の元であり, Weyl vector と呼ばれる.

注意 3. q_{n}(m), p_{n}(m) は I, J-Bessel 関数を含む無限級数で与えられる実数である [Br1]. また

L = −B(m) (−\frac{L′(−1, χ_{p})}{L(−1, χ_{p})} + \frac{σ′_{m}(−1)}{σ_{m}(−1)} − \frac{1}{2} log(p) − log(4π)) ,

σ_{m}(s) = m^{(1−s)/2} ∑_{d|m} d^{s}(χ_{p}(d) + χ_{p}(m/d)) であることが示される [BBK]. 更に, Weyl vector ρ_{W} も有限の形で計算できる量である [BB] [BBK].

4 Some infinite products

ここでは Φ_{m} の Fourier 展開から holomorphic part を取り出し, holomorphic infinite product を定義してその性質をみる.

定義 4.1.

ξ_{m}(z_{1}, z_{2}) = \frac{B(m)}{2} log(y_{1}y_{2}) + 2 ∑_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ λ>0, λ′<0 \end{matrix}} p_{|pλλ′|}(m) log |1 − e(λz_{1} + λ′\overline{z}_{2})|

とおき, ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) = Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) − ξ_{m}(z_{1}, z_{2}) − L とおく。

このとき ξ_{m} は ℌ^{2} 上で絶対収束し, ψ_{m} は ℌ^{2} ∖ T (m) 上の実解析関数を定める. これらはともに実数値関数である. holomorphic part ψ_{m} から無限積を次のようにおく.

定義 4.2. (z_{1}, z_{2}) ∈ W, y_{1}y_{2} > \frac{m}{p} のとき,

Ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) = e(ρ_{W} z_{1} + ρ′_{W} z_{2}) ∏_{\begin{matrix}λ>𝔡^{−1} \\ (λ,W)>0 \end{matrix}} (1 − e(λz_{1} + λ′z_{2}))^{−q_{pλλ′}(m)}

と定義する.

Ψ_{m} は定義 4.2 の領域で正則関数を定め, そこでは ψ_{m} と

log |Ψ_{m}(z_{1}, z_{2})| = −\frac{1}{2} ψ_{m}(z_{1}, z_{2})

の関係をみたす. これについて, 次が示される.

定理 4.1. Ψ_{m} は ℌ^{2} 全体に正則に解析接続され, 任意の relatively compact open subset U ⊂ ℌ^{2} に対して

Ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) ∏_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}}(az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b)^{−1}

は U 上正則で零点を持たない.

証明. まず Φ_{m} 自身は多重調和関数ではないが, 定理 3.2 の Fourier 展開の式から ψ_{m} は多重調和関数であることに注意する. ここで f : ℂ^{n} → ℝ が多重調和関数とは, C^{2} 級でありかつ\frac{∂^{2}}{∂z_{i}∂\overline{z}_{j}} f = 0 が任意の 1 ≤ i, j ≤ n で成り立つときにいう.

さて, 領域 \{(z_{1}, z_{2}) ∈ W | y_{1}y_{2} > \frac{m}{p}\} と交わるような simply connected relatively compact domain U をとる. いま,

ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) + 2 ∑_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}} log |az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b |

は U 上の多重調和な実解析関数である. [GR] Chapter IX から simply connected domain 上の二階微分可能な多重調和関数は正則関数の実部で表されることがわかる. 従って, 正則関数 f : U → ℂ が存在して

ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) + 2 ∑_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}} log |az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b | = Re (f(z_{1}, z_{2}))

をみたす. Log が主値をとっているものとすると, Ψ_{m} との関係式から

Re (Log (Ψ_{m}(z_{1}, z_{2})) − ∑_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}} Log (az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b)) = −\frac{1}{2}Re (f(z_{1}, z_{2}))

が成立する. 必要ならば f に定数を加えることで

Ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) ∏_{( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈ℳ_{U,m}^{+}}(az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b)^{−1} = e^{− \frac{1}{2} f(z_{1},z_{2})}

が得られ, 右辺は U 上の正則関数である. 従って定理が示された.

5 Borcherds products

Section 4 で構成した holomorphic infinite product は保型性を持っていないので, 保型形式を得るにはそれらの適当な積を考える必要がある. 積が保型性をもつには Φ_{m} の Fourier 展開に現われる non-holomorphic part の寄与がキャンセルされればよい. ここでは weakly holomorphic modular forms の与える線形結合がその目的を果たすことをみて, Borcherds product を構成する.

まず, power series ∑_{n∈ℤ} c(n) q^{n} に対して

c̃(n) = \begin{cases}c(n) & if p ∤ n \\ 2 c(n) & if p | n \end{cases}

とおく. これは注意 1 で触れた weakly holomorphic modular form に対応するベクトル値保型形式の Fourier 係数である.

f(τ) = ∑_{n∈ℤ} c(n) q^{n} ∈ W_{k}^{+}(p, χ_{p}), g(τ) = ∑_{n∈ℤ} b(n) q^{n} ∈ M_{2−k}^{+}(p, χ_{p}) をとる. このときベクトル値保型形式に定義される自然な pairing を通じて SL_{2}(ℤ) に関する weight 2 の weakly holomorphic modular form < f, g > を対応させることができる. この留数を考えることにより ∑_{n≤0} c̃(n) b(−n) = 0 が従う. [Bo3] において Borcherds は Serre duality argument により次を示した.

定理 5.1. 与えられた principal part ∑\begin{matrix}n<0 \\ χ_{p}(n)≠−1 \end{matrix} c(n) q^{n} をもつ weakly holomorphic modular form

f(τ) = ∑_{n∈ℤ} c(n) q^{n} ∈ W_{k}^{+}(p, χ_{p}) が存在するための必要十分条件は, 任意の g(τ) = ∑_{n∈ℤ} b(n) q^{n} ∈ S_{2−k}^{+}(p, χ_{p}) に対して ∑_{n<0} c̃(n) b(−n) = 0 が成立することである.

また定理のような f ∈ W_{k}^{+}(p, χ_{p}) が存在するとき, その定数項は E_{k}^{+} の Fourier 係数 B(n) を用いて c(0) = −\frac{1}{2} ∑_{n<0} c̃(n)B(−n) と表せることに注意する.

さて, Borcherds が示した定理は次である [Bo2] [Br2].

定理 5.2. f(τ) = ∑_{n∈ℤ} c(n) q^{n} ∈ W_{0}^{+}(p, χ_{p}) に対し, n < 0 ならば c̃(n) ∈ ℤ とする. このとき ℌ^{2} 上の有理型関数

Ψ_{f}(z_{1}, z_{2}) = ∏_{m>0} Ψ_{m}(z_{1}, z_{2})^{c̃(−m)}

は次をみたす.

(i) Ψ_{f} は SL_{2}(𝒪) について weight c(0) の適当な有限位数の乗法因子に関する保型形式である.

(ii) Ψ_{f} の divisor は ∑_{m>0} c̃(−m) T (m) で与えられる.

(iii) N = max\{n > 0 | c(−n) ≠ 0\} とおき, W を ℌ^{2} ∖ ⋃\begin{matrix}n>0 \\ c(−n)≠0 \end{matrix} S(n) の連結成分の一つとする.

そのときある ρ_{f} ∈ K が存在し, (z_{1}, z_{2}) ∈ W, y_{1}y_{2} > \frac{N}{p} かつ Ψ_{f} の極の外では

Ψ_{f}(z_{1}, z_{2}) = C e(ρ_{f}z_{1} + ρ′_{f}z_{2}) ∏_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ (λ,W)>0 \end{matrix}} (1 − e(λz_{1} + λ′z_{2}))^{c̃(pλλ′)}

なる絶対かつ広義一様収束する無限積 (Borcherds product) に展開される. ここに C は適当な絶対値 1 の複素数である.

注意 4. (1) 上の定理において Ψ_{f} の weight c(0) は, 定理 5.1 の後の注意と B(n) ∈ ℚ から有理数であることがわかる.

(2) 定理 5.2 により, 定理 5.1 で考えられている空間 S_{2}^{+}(p, χ_{p}) は Borcherds products によって Hirzebruch-Zagier divisor の線形結合を divisor をもつ保型形式を与える際の obstruction space となっていることがわかる.

証明. (i) Φ_{f}(z_{1}, z_{2}) = ∑_{m>0} c̃(−m) Φ_{m}(z_{1}, z_{2}) とおく. 定義 4.1 と定理 5.1 及びその下の注意から

∑_{m>0} c̃(−m) ξ(z_{1}, z_{2}) = −c(0) log(y_{1}y_{2})

となる. 従って

Φ_{f}(z_{1}, z_{2}) = −2 log |Ψ_{f}(z_{1}, z_{2})| − c(0) log(y_{1}y_{2})
= −2 log | Ψ_{f}(z_{1}, z_{2}) (y_{1}y_{2})^{c(0)/2} |

の関係を得る. ここで Φ_{f} は SL_{2}(𝒪)-invariant であるから, 次の補題により保型性がわかる.

補題 5.1. Ψ を ℌ^{2} 上の有理関数で |Ψ(z_{1}, z_{2})| (y_{1}y_{2})^{k/2}, k ∈ ℝ が SL_{2}(𝒪)-invariant とする. このとき Ψ は SL_{2}(𝒪) について weight k の適当な乗法因子に関する保型形式である.

証明. 任意の A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(𝒪) に対して

|Ψ(Az_{1}, A′z_{2})| (Im (Az_{1})Im (A′z_{2}))^{k/2} = |Ψ(z_{1}, z_{2})| (y_{1}y_{2})^{k/2}

なので

| \frac{Ψ(Az_{1}, A′z_{2})}{Ψ(z_{1}, z_{2})}(cz_{1} + d)^{−k}(c′z_{2} + d′)^{−k} | = 1

が成り立つ. ここから容易に (例えば最大値原理により) 絶対値の中身は絶対値 1 の複素定数がわかる.

(ii) 定理 4.1 により明らか.

(iii) この無限積展開は Borcherds の特異 theta 積分からは直接得られるが, このアプローチでは weakly holomorphic modular forms についての若干の結果を必要とする. その多くは煩雑なので証明は簡単な方針のみにとどめる. 詳しい内容は [Br2] Chapter 1 を参照のこと.

定理の展開を導くには weight 0 と weight 2 の保型形式の Fourier 係数の対応を考える必要がある. まず Hecke trick により weight 0 の non-holomorphic Poincare 級数を考えてその Fourier 係数を具体的に計算し, weight 2 の Poincare 級数の Fourier 係数 q_{n}(m) と比べて両者の関係を導く. そして weight 0 の weakly holomorphic modular form を non-holomorphic Poincare 級数と Eisenstein 級数の線形和により表すことで c̃(pλλ′) と q_{pλλ′}(m) の間に関係がつく. それによって無限積を書き直せばよい.

6 Example

ここでは Borcherds の construction で得られる保型形式を具体的にみる.

p = 5 とする. input data として weight 0 の weakly holomorphic modular form を与えればよい.

G_{2}(τ) = 1 + 6 ∑_{n≥1}(σ_{1}(n) − 5σ_{1}(n/5)) q^{n} ∈ M_{2}(Γ_{0}(5))

を weight 2 の Γ_{0}(5) に関する Eisenstein 級数とする. 一方で E_{2}^{0}(τ) = \frac{η(5τ)^{5}}{η(τ)} ∈ M_{2}(5, χ_{5}) が知られている. そこで

f_{1}(τ) = \frac{G_{2}(τ)}{E_{2}^{0}(τ)} = ∑_{n≥1} c(n) q^{n} = \frac{1}{q} + 5 + 11q − 54q^{4} + 55q^{5} + 44q^{6} + ⋯

とおけば f_{1}(τ) ∈ W_{0}^{+}(5, χ_{5}) である. これに定理 5.2 を適用して Weyl chamber, Weyl vector を具体的に記述すれば, ε_{0} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} を ℚ(\sqrt{5}) の fundamental unit として無限積

Ψ_{1}(z_{1}, z_{2}) = e (\frac{ε_{0}}{\sqrt{5}}z_{1} − \frac{ε′_{0}}{\sqrt{5}}z_{2}) ∏_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ ε_{0}λ′−ε′_{0}λ>0 \end{matrix}} (1 − e(λz_{1} + λ′z_{2}))^{c̃(5λλ′)}

は y_{1}y_{2} > \frac{1}{5} で絶対収束し SL_{2}(𝒪) に関する weight 5 の保型形式を定めることがわかる. 更に, Ψ_{1} の divisor は T (1) で与えられる.

一方, Gundlach [Gund] は Hilbert modular forms のなす保型形式環及び保型関数体の構造を調べる際に, 10 個の theta constant の積として T (1) を divisor とする SL_{2}(𝒪) に関する weight 5 の保型形式 Θ(z_{1}, z_{2}) を構成した. 具体的にはまず, μ, ν ∈ {0, 1, ε_{0}, ε′_{0}} に対して

θ(z_{1}, z_{2}; μ, ν) = ∑_{λ∈𝒪}(−1)^{Tr( \frac{ν}{\sqrt{5}} λ)}e (Tr (\frac{ε_{0}}{2\sqrt{5}} (λ + \frac{μ}{2})^{2} z))

= e (\frac{1}{8}Tr (\frac{ε_{0}μ^{2}}{\sqrt{5}} z)) ∑_{λ∈𝒪} e (\frac{1}{2}Tr (\frac{ν}{\sqrt{5}}λ)) e (\frac{1}{2}Tr (\frac{ε_{0}(λ^{2} + μλ)}{\sqrt{5}}z))

とおく. ここでは λ ∈ K に対して Tr(λz) = λz_{1}+λ′z_{2} としている. これらのうちから Tr(μν) ∈ 2ℤ をみたす 10 通りの組み合わせ (μ, ν) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (ε_{0}, 0), (0, ε_{0}), (ε′_{0}, 0), (0, ε′_{0}), (ε_{0}, ε′_{0}), (ε′_{0}, ε_{0}) をとって

Θ(z_{1}, z_{2}) = ∏ θ(z_{1}, z_{2}; μ, ν)

と定める. Köecher principle によってこれらは定数倍のずれしかないから, Fourier 展開の最初の係数を比較することにより Ψ_{1} = \frac{1}{64}Θ がわかる.

7 Converse theorem

定理 5.2 で構成された Borcherds products は Hirzebruch-Zagier divisor の間の relation を与えていると考えられる. その際の obstruction space S^{+}(p, χ_{p}) の次元は Hecke によって計算されており, [\frac{p−5}{24}] である. 従って p = 5, 13, 17 のときには任意の T (m) に対して divisor が T (m) となる保型形式を Borcherds product によって構成することができるが, それ以外の場合にはどんな relation でも与えられるわけではない. しかし, Hirzebruch-Zagier divisor の線形結合を divisor にもつ保型形式は必ず Borcherds product によって与えられるという, 逆定理が成立する.

これをみるために, Borcherds lift を cohomological に解釈する.

まず, cusp forms S_{2}(p, χ_{p}) 上の functional a_{r} を f(τ) = ∑_{n>0} c(n) q^{n} に対して r 番目の Fourier 係数 c(r) を対応させるものとし, 双対空間 S_{2}(p, χ_{p})^{∗} において a_{r} たちで生成される部分 ℤ-加群を A(p, χ_{p}) とおく. 同様に, 直和分解 S_{2}(p, χ_{p}) = S_{2}^{+}(p, χ_{p}) ⊕ S_{2}^{−}(p, χ_{p}) に対応して a_{r}, χ_{p}(r) = +1 (resp. χ_{p}(r) = −1) で生成される部分 ℤ-加群を A^{+}(p, χ_{p}) (resp. A^{−}(p, χ_{p})) とする. すると A(p, χ_{p}) = A^{+}(p, χ_{p}) ⊕ A^{−}(p, χ_{p}) と分解される.

次に, X_{K} 上の modified divisor class group C̃l(X_{K}) を次のように定める. X_{K} 上の divisor group を D(X_{K}) とする. その部分群 H̃(X_{K}) を, ℌ^{2} 上の SL_{2}(𝒪) に関する有限位数の乗法因子をもつ適当な weight の保型形式がその零点と極によって定義する X_{K} 上の divisor で生成されるものとする. そして C̃l(X_{K}) = D(X_{K})/H̃(X_{K}) とおく. これらの群の正確な定義については [Br1] Section 5 もしくは [Br2] Chapter 5 を参照されたい. また [Bo3] Section 4 の定義とも比較されるとよい.

このとき次が示される.

定理 7.1. functional a_{r} に Hirzebruch-Zagier divisor T (r) を対応させることにより準同型写像

η : A(p, χ_{p}) ⟶ C̃l(X_{K})

が定義される.

証明. a = ∑\begin{matrix}r∈ℤ \\ χ_{p}(r)≠0 \end{matrix} c_{r} a_{r}, c_{r} ∈ ℤ とおき, これが A(p, χ_{p}) で 0 になるとする. すると, 任意の cusp

form g(τ) = ∑\begin{matrix}n∈ℤ \\ χ_{p}(n)≠−1 \end{matrix} b(n) q^{n} ∈ S_{2}^{+}(p, χ_{p}) に対して a(g) = ∑\begin{matrix}r∈ℤ \\ χ_{p}(r)=1 \end{matrix} c_{r} b(r) = 0 が成立する.

このとき定理 5.1 から principal part ∑\begin{matrix}n<0 \\ χ_{p}(n)=1 \end{matrix} c(n) q^{n}, c̃(n) = c_{−n} をもつ weakly holomorphic modular form f ∈ W_{0}^{+}(p, χ_{p}) が存在する. 従って定理 5.2 から divisor ∑\begin{matrix}r∈ℤ \\ χ_{p}(r)=1 \end{matrix} c_{r}T (r) は f の

Borcherds lift によって与えられ H̃(X_{K}) に含まれる. 一方で χ_{p}(r) = −1 のものについてはもともと T (r) = ∅ なのだから, η は well-defined.

次に C̃l(X_{K}) を Chern class map によって X_{K} の cohomology と結びつける.

その前に Chern class の求め方について簡単に復習をする.

SL_{2}(𝒪) の指数有限な正規部分群 Γ で ℌ^{2} に fixed point free に働くものをとる. このとき Γ\ℌ^{2} は複素解析多様体なので, これに関しては次のように Chern class を求めることができる. divisor D に対し, 対応した line bundle ℒ(D) をとる. π : ℌ^{2} → Γ\ℌ^{2} を射影とする. ℌ^{2} 上の有理型関数 f でその divisor (f) が π^{∗}(D) に等しいものがとれる. このとき J(γ, z) = f(γz)/f(z), γ ∈ Γ によって Γ の 1-cocycle が定まる. C^{∞} 級正値関数 h : ℌ^{2} → ℝ_{>0} で任意の γ ∈ Γ に対し h(γz) = |J(γ, z)|h(z) をみたすものをとると, この h は ℒ(D) 上に Hermitian metric を定義している. このとき閉微分形式 ω = ∂\overline{∂} log(h) は H^{2}(Γ\ℌ^{2}, ℂ) の元を定め, D の Chern class c(D) を与える.

SL_{2}(𝒪) の場合には cohomology の同型 H^{2}(X_{K}, ℂ) ≅ H^{2}(Γ\ℌ^{2}, ℂ)^{SL_{2}(𝒪)/Γ} を通じて divisor の Chern class を求めることができる.

上の方法によって保型形式の divisor の Chern class を求めてみる. F を ℌ^{2} 上の SL_{2}(𝒪) に関する weight r の適当な有限位数の乗法因子をもった有理型保型形式とする. このとき |F (z_{1}, z_{2})|(y_{1}y_{2})^{\frac{r}{2}} は SL_{2}(𝒪)-invariant である. 従って (y_{1}y_{2})^{− \frac{r}{2}} を line bundle ℒ((F)) 上の Hermitian metric と思うことができて, Kähler form の定数倍 ω = −\frac{r}{2}∂\overline{∂} log(y_{1}y_{2}) が c((F)) を与えることがわかる.

これらのことから H̃^{2}(X_{K}, ℂ) = H^{2}(X_{K}, ℂ)/ℂ∂\overline{∂} log(y_{1}y_{2}) とおくとき, Chern class map c : Cl(X_{K}) → H^{2}(X_{K}, ℂ) によって準同型

c̃: C̃l(X_{K}) ⟶ H̃^{2}(X_{K}, ℂ)

が誘導される.

以上はむしろ一般的な内容であるが, この c̃ を Hizebruch-Zagier divisors の上に制限すると, その具体的な記述と X_{K} の cohomology の構造とからより精密な形で述べることができる.

まず Hirzebruch-Zagier divisor T (m) の Chern class を求める. なお, この結果は Hirzebruch, Zagier, 織田先生らによって異なる方法でも得られている ([HZ], [Oda1]).

定理 7.2. Hirzebruch-Zagier divisor T (m) の Chern class は

c(T (m)) = \frac{B(m)}{4} ∂\overline{∂} log(y_{1}y_{2})
+4π^{2} ∑_{\begin{matrix}λ∈𝔡^{−1} \\ λ>0, λ′<0 \end{matrix}}∑_{n≥1} n λλ′ p_{|pλλ′|}(m) ( e(nλz_{1} + nλ′\overline{z}_{2}) dz_{1} ∧ d\overline{z}_{2} + e(−nλ\overline{z}_{1} − nλ′z_{2}) dz_{2} ∧ d\overline{z}_{1} )

で与えられる.

証明. Section 4 にある定義から

|Ψ_{m}(z_{1}, z_{2})| e^{−ξ(z_{1},z_{2})/2} = e^{−Φ_{m}(z_{1},z_{2})/2}

の関係がわかる. 右辺は SL_{2}(𝒪)-invariant な関数であり, ℌ^{2} 上の有理型関数 Ψ_{m}(z_{1}, z_{2}) の divisor が T (m) なので, e^{ξ(z_{1},z_{2})/2} を ℒ(T (m)) 上の Hermitian metric と思うことができて,

c(T (m)) = \frac{1}{2} ∂\overline{∂}ξ_{m}(z_{1}, z_{2})

となる. 定義 4.1 による ξ_{m} の展開から定理を得る.

次に上の展開を Hilbert modular form と関係づける. そのためには H^{2}(X_{K}, ℂ) の構造を多少知る必要がある. Hilbert modular variety の cohomology の詳しい結果については [Oda2] を読まれたい. H^{2}(X_{K}, ℂ) は次の分解をもつ.

H^{2}(X_{K}, ℂ) = H_{Eis}^{2}(X_{K}, ℂ) ⊕ H_{squ}^{2,0}(X_{K}, ℂ) ⊕ H_{squ}^{1,1}(X_{K}, ℂ) ⊕ H_{squ}^{0,2}(X_{K}, ℂ) .

ただし, H_{Eis}^{2}(X_{K}, ℂ) は Eisenstein 級数からくる部分で, H_{squ}^{p,q}(X_{K}, ℂ) は (p, q) 型の二乗可積分な微分形式で代表される部分である. 我々が必要とするのは H_{squ}^{1,1}(X_{K}, ℂ) の部分空間 H_{univ}^{1,1}(X_{K}, ℂ)⊕ H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) である. ここに

H_{univ}^{1,1}(X_{K}, ℂ) = ℂ\frac{dz_{1} ∧ d\overline{z}_{1}}{y_{1}^{2}} ⊕ ℂ\frac{dz_{2} ∧ d\overline{z}_{2}}{y_{2}^{2}}

であり, H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) は次のようにして Hilbert modular forms で与えられる.

SL_{2}(𝒪) に関する weight 2 の Hilbert modular cusp forms を S_{2}(SL_{2}(𝒪)) で表す. K の単数 ε_{0} で ε_{0} > 0, ε′_{0} < 0 をみたすものをとる. このとき写像 α : S_{2}(SL_{2}(𝒪)) → H_{squ}^{1,1}(X_{K}, ℂ) が

f(z_{1}, z_{2}) ↦ f(ε_{0}z_{1}, ε′_{0}\overline{z}_{2}) dz_{1} ∧ d\overline{z}_{2} + f(ε_{0}z_{2}, ε′_{0}\overline{z}_{1}) dz_{2} ∧ d\overline{z}_{1}

により定まる. H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) はこの α の像として定義する.

さて, Zagier ([Za1] Appendix 1) は次のような級数

ω_{m}(z_{1}, z_{2}; s) = ∑_{\begin{matrix}( \begin{matrix}a & λ \\ λ′ & b \end{matrix} )∈L′ \\ ab−N(λ)=− \frac{m}{p} \end{matrix}}\frac{1}{(az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b)^{2}} \frac{1}{| az_{1}z_{2} + λz_{1} + λ′z_{2} + b |^{2s}} .

を考えた. これは Re (s) > 0 で収束し, 領域 \{ s ∈ ℂ | Re (s) > −\frac{1}{4} \} へ正則に解析接続されることが示される. そこで

ω_{m}(z_{1}, z_{2}) = ω_{m}(z_{1}, z_{2}; 0)

とおくと, これは SL_{2}(𝒪) に関する weight 2 の cusp form となる.

ω_{m}(z_{1}, z_{2}) の Fourier 係数を具体的に計算してみると, 定理 7.2 は次のように書き換えられることがわかる :

c(T (m)) = \frac{B(m)}{4} ∂\overline{∂} log(y_{1}y_{2}) + \frac{m}{4p} α(ω_{m}(z_{1}, z_{2})) .

これまでの結果を一つにまとめる. C̃l_{HZ}(X_{K}) を C̃l(X_{K}) の部分群で T (m), m ≥ 1 の像で生成されるものとする.

まず, 定理 7.1 はη : A(p, χ_{p}) → C̃l_{HZ}(X_{K}) を与えている. これを c̃で送ると像は H_{univ}^{1,1}(X_{K}, ℂ)⊕

H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) に含まれる. ここから H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) への射影をとって更に α^{−1} : H_{sym}^{1,1}(X_{K}, ℂ) →^{∼}

S_{2}(SL_{2}(𝒪)) を合成する. 以上により, ℤ-加群の準同型

A(p, χ_{p}) ⟶ S_{2}(SL_{2}(𝒪)) , a_{r} ⟼ \frac{r}{4p} ω_{r}(z_{1}, z_{2})

を得る.

これを ℂ-線形に拡張する. cusp forms S_{2}(p, χ_{p}) は cusp ∞ での Fourier 係数が全て ℤ に含まれるような基底をもっている. 従って A(p, χ_{p}) ⊗ ℂ = S_{2}(p, χ_{p})^{∗} となる. Petersson 内積 < , > によって S_{2}(p, χ_{p}) と S_{2}(p, χ_{p})^{∗} を同一視しよう. このとき a_{r} が 4πr < ·, G_{r} > に対応するような r 番目の Poincare 級数を Hecke trick により定義することができる ([Za1] Appendix 1).

結局, 我々は次の ℂ-線形写像に導かれた :

ȷ : S_{2}(p, χ_{p}) ⟶ S_{2}(SL_{2}(𝒪)) , G_{r} ⟼ \frac{1}{16πp} ω_{r} .

一方, Zagier [Za1] は級数

Ω(z_{1}, z_{2}; τ) = ∑_{n≥1} n ω_{n}(z_{1}, z_{2}) q^{n}

を核関数とすることで Doi-Naganuma map

ı : S_{2}(p, χ_{p}) ⟶ S_{2}(SL_{2}(𝒪)) , f ⟼ −\frac{1}{2π} < f(τ), Ω(−\overline{z}_{1}, −\overline{z}_{2}; τ) >_{τ}

を与えた. こうした Doi-Naganuma map の記述については [Katsurada] も参照のこと. ı の定義から ı(G_{r}) = −\frac{1}{8π^{2}} ω_{r} なので, ȷ = −\frac{π}{2p}ı がわかる.

このようにして Borcherds lift から出発することで Doi-Naganuma map が再現された. また逆に, Doi-Naganuma map の性質を利用することで Hilbert modular の場合の Borcherds lift について次の逆定理が得られる.

定理 7.3. F を ℌ^{2} 上の有理型関数で SL_{2}(𝒪) に関する適当な乗法因子をもつ保型形式とし, その divisor が Hirzeruch-Zagier divisor の線形和で与えられるとする. このとき, ある f ∈ W_{0}^{+}(p, χ_{p}) が存在して F は f による Borcherds product となる.

証明. 必要とする事実は, Doi-Naganuma map ı が S_{2}^{+}(p, χ_{p}) 上で単射ということである.

F の divisor が ∑_{n>0} c̃(−n) T (n), c̃(−n) ∈ ℤ とする. このとき定義によって C̃l_{HZ}(X_{K}) において η( ∑_{n>0} c̃(−n) a_{n}) = 0. η は A^{−}(p, χ_{p}) 上 0 であったが, ı の単射性から η は A^{+}(p, χ_{p}) 上単射であることがわかる. 従って ∑_{n>0} c̃(−n) a_{n} ∈ A^{−}(p, χ_{p}). すると任意の g(τ) = ∑_{n>0} b(n) q^{n} ∈ S_{2}^{+}(p, χ_{p}) に対して ∑_{n>0} c̃(−n) b(n) = 0 となるので, 定理 5.1 と定理 5.2 により ∑_{n>0} c̃(−n) T (n) はある Borcherds product Ψ_{f} の divisor である. F/Ψ_{f} は ℌ^{2} 上で零点も極ももたない保型形式なので, 定数である. これにより定理が証明された.

8 応用など

Borcherds products の応用をいくつか挙げていく.

1. [Hamahata] において述べられている Hirzebruch-Zagier divisor の generating series が保型形式になるという結果 [HZ] の証明.

2. 保型形式環の生成元の具体的構成.

3. Singular moduli の trace との関連.

4. etc ⋯

1. は Borcherds が [Bo3] において与えたものだが, Bruinier, Burgos, Kühn らによって Arithmetic な観点からの定式化が与えられている [BBK].

2. については, 保型形式環の生成元の一部を Borcherds product によって構成できるという結果が次数 2 の Siegel modular forms の場合には H.Aoki と T.Ibukiyama により, 次数 2 の Hermitian modular forms の場合には T.Dern と A.Krieg により得られている.

3. は Zagier [Za2] が一変数の場合の Borcherds product と Singular moduli の trace との間の (full modular の場合の) 同値性を見出したことに始まるもので, Bruinier をはじめ多くの人々によって様々な拡張・一般化が図られている.

4. そのほか, Borcherds product には generalized Kac-Moody algebra との関係, Enriques surface, K3 surface などの moduli 空間への応用といったことが考えられている. また Borcherds product の様々な構成法に応じて, Borcherds product の変種もいくつか存在し, Bruinier と Yang のもの, Aoki と Ibukiyama によるもの, 筆者によるものなどがある.

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