ℚ(\sqrt{2}) のヒルベルトモジュラー形式の対数微分を解にもつ微分方程式について

眞野 智行（京大・理）

e-mail: mano@math.kyoto-u.ac.jp

1. ヒルベルトモジュラー形式のなす環

K = ℚ(\sqrt{2}) とし、 O を K の整数環とする。 O の基本単数を ε_{0} = 1+\sqrt{2} として

Γ(2) = \{γ ∈ SL(2, O); γ ≡ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) mod (2)\}

および

D_{ε_{0}} = ( \begin{matrix}ε_{0} & 0 \\ 0 & ε_{0}^{−1} \end{matrix} )

によって生成される SL(2, O) の部分群を Γ とする（ SL(2, O)/Γ ≅ S_{4} である）。このときモジュラー形式のなす環の構造について次の事実が知られている。（[2] を参照）

事実 1. 群 Γ に関するヒルベルトモジュラー形式のなす環は

ℂ[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, c]/(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}, c^{2} − C)

に同型である。ここで C = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}(x_{1}x_{2} + x_{3}x_{4})(x_{1}x_{3} + x_{2}x_{4})(x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3}) であり、 x_{i} は重さ 1 で c は重さ 5 である。さらに、 x_{i} は対称モジュラー形式である（つまり x_{i}(z_{1}, z_{2}) = x_{i}(z_{2}, z_{1})）。

2. ヒルベルトモジュラーオービフォールドと一意化方程式

上に現れた x_{i} (i = 1, …, 4) に対して

y_{1} = \frac{1}{2}(x_{4} − x_{3}), y_{2} = \frac{1}{2}(x_{2} − x_{1}), y_{3} = \frac{1}{2}(x_{4} + x_{3})

とおくと ℍ × ℍ から ℙ^{2}(ℂ) への正則写像が得られる。以下 ℙ^{2}(ℂ) の非斉次座標を x = y_{1}/y_{3}, y = y_{2}/y_{3} と取る。 x_{i} が対称モジュラー形式であることから ℙ^{2}(ℂ) 上の因子 D = (1 − x^{2})(1 − y^{2})(1 − x^{2}y^{2})(2 − x^{2} − y^{2}) で 2 重に分岐していることが分かる。そこで ℙ^{2}(ℂ) とその上の因子 D および分岐指数 2 からなるデータをヒルベルトモジュラーオービフォールド M と呼ぶ。

この逆写像を記述する微分方程式が佐々木武-吉田正章 [3] により与えられた。それは ℙ^{2}(ℂ) 上の線形偏微分方程式系として書き下され、ヒルベルトモジュラーオービフォールド M の一意化方程式と呼ばれる。

\{ \begin{matrix}\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} = l\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + a\frac{∂u}{∂x} + b\frac{∂u}{∂y} + pu \\ \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} = m\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} + c\frac{∂u}{∂x} + d\frac{∂u}{∂y} + qu. \end{matrix}  (1)

という形であり、係数は

l = −\frac{2 − y^{2} − x^{2}y^{2}}{xy(1 − x^{2})} , m = −\frac{2 − x^{2} − x^{2}y^{2}}{xy(1 − y^{2})}

\begin{aligned}a = & − \frac{3}{2} \frac{∂}{∂x} log \frac{(1 − x^{2}y^{2})(2 − x^{2} − y^{2})}{(1 − x^{2})} \\ & + \frac{l}{2} \frac{∂}{∂y} log \frac{(1 − x^{2}y^{2})^{2}(2 − x^{2} − y^{2})^{2}}{(1 − y^{2})^{2}(2 − y^{2} − x^{2}y^{2})} \end{aligned}

b = \frac{l}{2} \frac{∂}{∂x} log \frac{(2 − y^{2} − x^{2}y^{2})(1 − x^{2}y^{2})(2 − x^{2} − y^{2})}{(1 − x^{2})^{2}}

c = \frac{m}{2} \frac{∂}{∂y} log \frac{(2 − x^{2} − x^{2}y^{2})(1 − x^{2}y^{2})(2 − x^{2} − y^{2})}{(1 − y^{2})^{2}}

\begin{aligned}d = & − \frac{3}{2} \frac{∂}{∂y} log \frac{(1 − x^{2}y^{2})(2 − x^{2} − y^{2})}{(1 − y^{2})} \\ & + \frac{m}{2} \frac{∂}{∂x} log \frac{(1 − x^{2}y^{2})^{2}(2 − x^{2} − y^{2})^{2}}{(1 − x^{2})^{2}(2 − x^{2} − x^{2}y^{2})} \end{aligned}

p = \frac{−2(x^{2} − y^{2})}{(1 − x^{2})^{2}(1 − y^{2})}, q = \frac{−2(y^{2} − x^{2})}{(1 − x^{2})(1 − y^{2})^{2}}

で与えられる。

3. ヒルベルトモジュラー形式を解に持つ偏微分方程式系次のような 10 個の従属変数を導入する： i = 1, 2 に対し

A_{i}(z_{1}, z_{2}) = \frac{∂}{∂z_{i}} log\{y_{3}(z_{1}, z_{2})\}  (2)
X_{i}(z_{1}, z_{2}) = \frac{∂}{∂z_{i}} log(x − 1)  (3)
Y_{i}(z_{1}, z_{2}) = \frac{∂}{∂z_{i}} log(x + 1)  (4)
Z_{i}(z_{1}, z_{2}) = \frac{∂}{∂z_{i}} log(y − 1)  (5)
W_{i}(z_{1}, z_{2}) = \frac{∂}{∂z_{i}} log(y + 1)  (6)

このとき、前節で述べた一意化方程式を用いることにより次を得る。

定理 1. 従属変数の組 {A_{i}, X_{i}, Y_{i}, Z_{i}, W_{i}}_{i=1,2} は次の非線形偏微分方程式 (7 − 16) および代数方程式系 (17 − 20) の解となる。（この系を HMS と略記する）

\frac{∂A_{i}}{∂z_{i}} = A_{i}^{2} − X_{i}Y_{i} − Z_{i}W_{i},  (7)
\frac{∂A_{2}}{∂z_{1}} = \frac{∂A_{1}}{∂z_{2}} = −\frac{1}{3}X_{1}Y_{2} − \frac{1}{3}Z_{1}W_{2} − \frac{1}{6}S_{1}T_{2} − \frac{1}{6}S_{2}T_{1},  (8)

\frac{∂X_{i}}{∂z_{i}} = 2X_{i}A_{i} + \frac{3}{2}X_{i}Y_{i} + \frac{1}{2}X_{i}^{2} + \frac{1}{2}Z_{i}W_{i} + \frac{1}{2} \frac{X_{i}Z_{i}W_{i}}{Y_{i}} ,  (9)
\frac{∂X_{1}}{∂z_{2}} = \frac{∂X_{2}}{∂z_{1}}
= −\frac{1}{2}X_{1}X_{2} + \frac{1}{2}X_{1}Y_{2} + \frac{1}{4}X_{1}(Z_{2} + W_{2}) + \frac{1}{4}X_{2}(Z_{1} + W_{1}), (10)

\frac{∂Y_{i}}{∂z_{i}} = 2Y_{i}A_{i} + \frac{3}{2}X_{i}Y_{i} + \frac{1}{2}Y_{i}^{2} + \frac{1}{2}Z_{i}W_{i} + \frac{1}{2} \frac{Y_{i}Z_{i}W_{i}}{X_{i}} ,  (11)
\frac{∂Y_{1}}{∂z_{2}} = \frac{∂Y_{2}}{∂z_{1}}
= −\frac{1}{2}Y_{1}Y_{2} + \frac{1}{2}X_{1}Y_{2} + \frac{1}{4}Y_{1}(Z_{2} + W_{2}) + \frac{1}{4}Y_{2}(Z_{1} + W_{1}),  (12)

\frac{∂Z_{i}}{∂z_{i}} = 2Z_{i}A_{i} + \frac{3}{2}Z_{i}W_{i} + \frac{1}{2}Z_{i}^{2} + \frac{1}{2}X_{i}Y_{i} + \frac{1}{2} \frac{Z_{i}X_{i}Y_{i}}{W_{i}} ,  (13)
\frac{∂Z_{1}}{∂z_{2}} = \frac{∂Z_{2}}{∂z_{1}}
= −\frac{1}{2}Z_{1}Z_{2} + \frac{1}{2}Z_{1}W_{2} + \frac{1}{4}Z_{1}(X_{2} + Y_{2}) + \frac{1}{4}Z_{2}(X_{1} + Y_{1}), (14)
\frac{∂W_{i}}{∂z_{i}} = 2W_{i}A_{i} + \frac{3}{2}W_{i}Z_{i} + \frac{1}{2}W_{i}^{2} + \frac{1}{2}Y_{i}X_{i} + \frac{1}{2} \frac{W_{i}Y_{i}X_{i}}{Z_{i}} ,  (15)
\frac{∂W_{1}}{∂z_{2}} = \frac{∂W_{2}}{∂z_{1}}
= −\frac{1}{2}W_{1}W_{2} + \frac{1}{2}Z_{1}W_{2} + \frac{1}{4}W_{1}(X_{2} + Y_{2}) + \frac{1}{4}W_{2}(X_{1} + Y_{1}), (16)
X_{1}Y_{2} − X_{2}Y_{1} = 0,  (17)
Z_{1}W_{2} − Z_{2}W_{1} = 0,  (18)
3S_{1}(Z_{2} + W_{2}) + 3S_{2}(Z_{1} + W_{1}) = 4(2X_{1}Y_{2} − Z_{1}W_{2} + S_{1}T_{2} + S_{2}T_{1}),(19)
3T_{1}(X_{2} + Y_{2}) + 3T_{2}(X_{1} + Y_{1}) = 4(−X_{1}Y_{2} + 2Z_{1}W_{2} + S_{1}T_{2} + S_{2}T_{1}), (20)

ただし S_{i} = 2X_{i}Y_{i}/(X_{i} + Y_{i}), T_{i} = 2Z_{i}W_{i}/(Z_{i} + W_{i}) とおいた。注意 1. 上の 4 つの代数関係式は独立である。よって HMS は本質的に 6 階の微分方程式系である。

4. 初期値問題と特殊解 HMS のほとんどすべての解（一般解）はヒルベルトモジュラー形式を

用いて記述することが出来る。そのために HMS が持つ次の性質を用いる。命題 1. HMS の解 {A_{i}, X_{i}, Y_{i}, Z_{i}, W_{i}}_{i=1,2} が与えられたとき

A_{1}^{T} (z_{1}, z_{2}) = A_{2}(z_{2}, z_{1}),  (21)
A_{2}^{T} (z_{1}, z_{2}) = A_{1}(z_{2}, z_{1})  (22)

等で定義される関数の組 {A_{i}^{T} , X_{i}^{T} , Y_{i}^{T} , Z_{i}^{T} , W_{i}^{T} }_{i=1,2} も HMS の解となる。

さらに、 γ = (( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix} )) ∈ SL(2, ℂ) × SL(2, ℂ) に対

して

A_{i}^{γ}(z_{1}, z_{2}) = \frac{1}{(c_{i}z_{i} + d_{i})^{2}} A_{i} (\frac{a_{1}z_{1} + b_{1}}{c_{1}z_{1} + d_{1}} , \frac{a_{2}z_{2} + b_{2}}{c_{2}z_{2} + d_{2}} ) − \frac{c_{i}}{c_{i}z_{i} + d_{i}} , (23)
G_{i}^{γ}(z_{1}, z_{2}) = \frac{1}{(c_{i}z_{i} + d_{i})^{2}} G_{i} (\frac{a_{1}z_{1} + b_{1}}{c_{1}z_{1} + d_{1}} , \frac{a_{2}z_{2} + b_{2}}{c_{2}z_{2} + d_{2}} )  (24)

（ただし G = X, Y, Z, W ）で定義される関数の組 {A_{i}^{γ}, X_{i}^{γ}, Y_{i}^{γ}, Z_{i}^{γ}, W_{i}^{γ}}_{i=1,2} も HMS の解となる。

3 節で与えられた解と命題 1 を用いることによって、一般的な初期データに対して HMS の初期値問題を解くことが出来る。これは HMS の 6 個のパラメーターを含む一般解を与える。

以下では上の一般解に含まれない HMS の特殊解について述べる。まず、変数を対角成分に制限し z_{1} = z_{2} = t とし、 A_{1}(t, t) = A_{2}(t, t), X_{1}(t, t) = X_{2}(t, t) = 0, Y_{1}(t, t) = Y_{2}(t, t) = 0, Z_{1}(t, t) = Z_{2}(t, t), W_{1}(t, t) = W_{2}(t, t) という条件を課すことにより HMS は t を独立変数とする常微分方程式系に帰着するが、これは Halphen 系と呼ばれるもので楕円モジュラー関数を用いて解くことが出来る。

次に HMS において X_{i}(z_{1}, z_{2}) = Y_{i}(z_{1}, z_{2}), Z_{i}(z_{1}, z_{2}) = W_{i}(z_{1}, z_{2}) という条件を課す。この条件のもとで HMS の完全積分可能条件は保たれて、 P_{i} = X_{i} + A_{i}, Q_{i} = Y_{i} + A_{i} とおくと HMS は次のような偏微分方程式系に帰着する。

\frac{∂A_{i}}{∂z_{i}} = −A_{i}^{2} + 2(P_{i} + Q_{i})A_{i} − P_{i}^{2} − Q_{i}^{2}  (25)
\frac{∂A_{2}}{∂z_{1}} = \frac{∂A_{1}}{∂z_{2}} = −(P_{1} − A_{1})(P_{2} − A_{2})  (26)
\frac{∂P_{i}}{∂z_{i}} = P_{i}^{2}  (27)
\frac{∂P_{2}}{∂z_{1}} = \frac{∂P_{1}}{∂z_{2}} = 0  (28)
\frac{∂Q_{i}}{∂z_{i}} = Q_{i}^{2}  (29)
\frac{∂Q_{2}}{∂z_{1}} = \frac{∂Q_{1}}{∂z_{2}} = 0,  (30)

また代数関係式より P_{i} = Q_{i} (i = 1, 2) か P_{1} = Q_{1} = A_{1} のどちらかを満たさなければならない。この微分方程式系は直接に解くことが出来て、次の 6 通りの解から命題 1 を用いて得られるもので尽くされる。

1. A_{i} = P_{i} = Q_{i} = 0 (i = 1, 2)

2. A_{1} = 0, A_{2} = \frac{1}{z_{2}} , P_{i} = Q_{i} = 0

3. A_{i} = \frac{1}{z_{1} + z_{2}} , P_{i} = Q_{i} = 0

4. A_{1} = 0, A_{2} = \frac{ω}{z_{2}} , P_{1} = Q_{1} = 0, P_{2} = −\frac{1}{z_{2}} , Q_{2} = 0 (ω = e^{2πi/3})

5. A_{1} = 0, A_{2} = \frac{ω^{2}}{z_{2}} , P_{1} = Q_{1} = 0, P_{2} = −\frac{1}{z_{2}} , Q_{2} = 0

6. A_{1} = 0, A_{2} = \frac{ω + ω^{2}z_{2}^{ω^{2}−ω}}{z_{2}(1 + z_{2}^{ω^{2}−ω})}, P_{1} = Q_{1} = 0, P_{2} = −\frac{1}{z_{2}} , Q_{2} = 0

参考文献

[1] 佐藤幹夫「代数解析学と私」 ”第 2 部, 第 3 部” 数理解析研究所講究録 810 (1992), 198-217.

[2] F. Hirzebruch, The ring of Hilbert modular forms for real quadratic fields of small discriminant, Lectures Notes in Math. 627 (1977), 287-323.

[3] T. Sasaki and M. Yoshida, Linear differential equations in two variables of rank four II. The uniformaizing equation of a Hilbert modular orbifold, Math. Ann. 281 (1988), 95-111.

[4] T. Mano, Differential equations for Hilbert modular forms of ℚ(\sqrt{2}) J. Math. Kyoto Univ. 44-3 (2004), 457-477.