D. Lanphier: Petersson norms and liftings of Hilbert modular formsの紹介

岡崎武生大阪大学

Introduction

D. Lanphier の結果は次の 3 パートからなります。 � ℌ_{2n} 上の Siegel-Eisenstein 級数 E(𝒵) を埋め込み ι : ℌ_{n} × ℌ_{n} ∋ (z, w) ↦ ( \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & w \end{matrix} ) ∈ ℌ_{2n} で引き戻したものを z ∈ ℌ_{n} の保型形式とみなす。このとき、次数 n の Hecke eigen cuspform f(z) に対して Petersson 内積を取ると standard L-関数の特殊値付き倍の f(w) が得られる、という Pullback formula(定理 1.1) の解説。 � Pullback formula と、 Siegel-Eisenstein 級数の Fourier 係数は ℚ に含まれるという M. Harris の結果から、 f の stadard L-関数の特殊値の代数性が導かれる。

更に、その特殊値の σ(∈ Aut(ℂ/ℚ)) による共役は、 f^{σ}(f の Fourier 係数の σ-共役を取る事で得られる保型形式) の特殊値に等しいといった性質が導かれる。 (定理 2.5) (このような、保型形式から何らかの作業で得た数値を σ で写したものは、元の保型形式の σ-共役から得た数値と等しいという性質を Galois Equivalence Property と呼ぶ。 G.E.P と略記する。 ) � 斎藤-黒川リフト (Hecke eigen 楕円保型形式から Hecke eigen Siegel 保型形式を構成する方法) において、 preimage と image の standard L-関数の関係と�の G.E.P から、両者の Petersson norm の商が、 preimage の Fourier 係数の生成する体に含まれる事と、 G.E.P を持つ事がわかる。 (定理 3.4) また、斎藤-黒川リフトの Hilbert 保型形式版や池田リフトにおいても同様の事がいえる。 (定理 3.5)

0 準備

係数環 A の 2n×2n-size の行列環 M_{2n}(A) の元 g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) にたいし、 n×n-size の block 達を a_{g} = a, b_{g} = b, c_{g} = c, d_{g} = d と書く事にする。

k を [k : ℚ] = m の総実代数体とし、 𝔒 で k の整数環をあらわす。整 ideal 𝔫 にたいし、次数 n の symplectic group Sp_{n}(𝔒) = \{g ∈ GL_{2n}(𝔒) | ^{t}g( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )g = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )\} の主合同部分群を Γ(𝔫) = {γ ∈ Sp_{n}(𝔒) | 1 ≡ 0 (mod 𝔫)} であらわす。次数 n の Siegel 上半空間 ℌ_{n} = {z = ^{t}z ∈ M_{n}(ℂ) | ℑz > 0} への g ∈ Sp_{n}(ℝ) の作用を g(z) := (a_{g}z + b_{g})(c_{g}z + d_{g})^{−1} とする。保型因子を j(g, z) := det(c_{g} · z + d_{g})^{−1} と定義する。次数 n、重さ κ、合同部分群 Γ ⊂ Sp_{n}(𝔒) に関する、 (classical) 正則 Hilbert Siegel 保型形式 F とは、全ての z ∈ ℌ_{n}^{m}, γ ∈ Γ に対して

F (γ(z))j(γ, z)^{κ} = F (z)

を満たす ℌ_{n}^{m} 上の正則関数の事である。但し、ここでは γ · z = (γ_{1} · z_{1}, …, γ_{m} · z_{m}), (γ_{j} は γ ∈ Sp_{n}(k) の j 番目の共役) j(γ, z)^{κ} = ∏_{j} j(γ_{j}, z_{j})^{κ} という意味で使っている。 M_{κ}^{n}(Γ) = M_{κ}(Γ) でこのような関数全体の空間をあらわす。

この classical な F ∈ M_{κ}(Γ) は強近似定理 (Sp_{n}(k)Sp_{n}(ℝ)^{m} は Sp_{n}(𝔸_{k}) の稠密集合) により idéle 群 Sp_{n}(𝔸_{k}) 上の関数に次の様にして拡張できる。

なお、 𝔸_{k}-module M の元 x にたいし、 x_{∞}, x_{0} で x の無限 part, 有限 part をあらわすことにする。まず、 f̃(g_{∞}) = F (g_{∞}(i)) det(a_{g_{∞}} + ib_{g_{∞}})^{κ}, g_{∞} ∈ Sp_{n}(ℝ)^{m} で、 Sp_{n}(ℝ)^{m} 上の関数に拡張する。 Γ(𝔫) を Γ に含まれる最大の主合同部分群とし、 g ∈ Sp_{n}(𝔸_{k}) に対して、強近似定理により

g = δg_{∞}u, δ ∈ Sp_{n}(k), g_{∞} ∈ Sp_{n}(ℝ)^{m}, u ∈ ∏_{v<∞} Γ(𝔫)_{v}

と表示して、 f(g) = f̃(g_{∞}) とおく。 Sp_{n}(𝔸_{k}) 上の関数 f は、全ての δ ∈ Sp_{n}(k), g ∈ Sp_{n}(𝔸_{k}), u_{∞} ∈ K_{∞}^{m}, u_{0} ∈ ∏_{v} Γ_{n}(𝔫)_{v} に対して

f(δgu_{∞}u_{0}) = f(g) det(a_{u_{∞}} + ib_{u_{∞}})^{κ},

を満たす。ここで K_{∞}(⊂ Sp_{n}(ℝ)) は i を固定する compact maximal subgroup をあらわしている。

このように F ∈ M_{κ}(Γ) から得られた Sp_{n}(𝔸_{k}) 上の関数 f 全体も同じ M_{κ}(Γ) であらわす。この拡張の仕方は無矛盾で、 f から F が再現可能である。本稿では、もっぱら Sp_{n}(𝔸_{k}) 上の関数を扱う事にする。

f の Fourier 係数を次の様に定義する。

定義 1 (Fourier 係数) まず、 𝔸_{ℚ} 上の指標 ψ_{0} を ψ_{0}(x) = exp(2πix), x ∈ ℝ から、強近似定理で拡張し、 𝔸_{k} 上の指標を ψ = ψ_{0} ∘ Tr_{k/ℚ} で定義する。

すると、 T = ^{t}T ∈ M_{n}(k) に関する f の (whole)Fourier 係数 W_{f, T} (g), g ∈ Sp_{n}(𝔸_{k}) は

W_{f, T} (g) := ∫_{U(k)\U(𝔸_{k})} \overline{ψ}(T race(T x))f(u(x)g)) dx

と定義される。ここで、 U = \{u(x) = ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) | x は対称行列\} で U(k)\U(𝔸_{k}) の volume が 1 となる様に Haar 測度 dh を取っている。更に、 f は正則な F から得られているので、

g = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & ^{t}a^{−1} \end{matrix} ) ∈ Sp_{n}(𝔸_{k}) | a ∈ GL_{n}(𝔸_{k})\} において、

W_{f, T} (g) = V_{f, T} (a_{0})(det a_{∞})^{κ} exp(−2πTrace(T a_{∞}^{t}a_{∞}))

と書ける。 ( ここで a_{∞}, a_{0} は a の無限 part, 有限 part をあらわしている。 )

我々はこの a_{0} のみに依存する関数 V_{f, T} (a_{0}) を f の Fourier 係数とよぶ。特に a_{0} = 1_{0} のとき、 V_{f, T} (1_{0}) は classical な F の Fourier 係数。 □ f ∈ M_{κ}(Γ) が全ての非正値な T において V_{f, T} (a_{0}) = 0 となるとき、 f は cuspform であるという。 M_{κ}(Γ) の cuspform 全体の部分空間を S_{κ}(Γ) であらわす。

次に、 Hecke 作用素と standard L-関数の定義を復習する。 (c.f. [17])

定義 2 (Hecke 環、 Hecke 作用素)有限素点 v における Hecke 環 H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) を、 η(k_{1}gk_{2}) = η(g), k_{i} ∈ Sp_{n}(𝔒_{v}), g ∈ Sp_{2n}(k_{v}) で compact support を持ち連続となるような関数 η 全体とし、 convolution 積 ∗ を η_{1} ∗ η_{2}(g) := ∫_{Sp_{n}(k_{v})} η_{1}(gh^{−1})η_{2}(h)dh と入れる。 (dh は Sp_{n}(𝔒_{v}) を 1 とする Haar 測度 )

この時、 Hecke 作用素 T_{η}, η ∈ H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) を

T_{η}f(g) := ∫_{Sp_{n}(k_{v})} f(gh^{−1})η(h) dh

と定義する。 f ∈ M_{κ}(Γ(𝔫)) が、全ての v ∤ 𝔫 で全ての η ∈ H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) に対して、 T_{η}f = λ_{v}(η)f, λ_{v}(η) ∈ ℂ となるとき Hecke eigenform という。 λ_{f} で f に付随する準同型 ⊗_{v∤𝔫}H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) → ℂ をあらわす。 (H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) は佐武同型により可換代数である。 ) □

dim_{ℂ} S_{κ}(Γ(𝔫)) < ∞ で、 T_{η} は S_{κ}(Γ(𝔫)) への adjoint 作用素であるから、 S_{κ}(Γ(𝔫)) は eigenforms で張れる事と、 λ_{v}(η) は totally algebraic である事がわかる。また、 2 節で {λ_{f}(η) | η ∈ ⊗_{v∤𝔫}H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v}))} の生成する体が有限次総実体である事もわかる。

定義 3 (Satake parameter、 standard L-関数)佐武同型により、

S_{U} : H_{v}(Sp_{n}(k_{v}), Sp_{n}(𝔒_{v})) ≃ ℂ[X_{1}^{±}, …, X_{n}^{±}]^{W}

である事が知られている。右辺は Weyl 群 W による多項式環 ℂ[X_{1}^{±}, …, X_{n}^{±}] の不変元全体。 W は n 次対称群 𝔖_{n} と w_{i} : X_{i} → X_{i}^{−1} で生成される。

次の意味で、佐武同型が f から誘導する parameter {α_{1}^{±1}, …, α_{n}^{±1}} を f の (v における )Satake parameter と呼ぶ。 S_{U}(η) = p(X_{1}, …, X_{n}) ならば、 T_{η}f = p(α_{1}, … α_{n})f。また、 f の standard L-関数 L_{S}(s, f) は

L_{S}(s, f) := ∏_{v∉S} ((1 − q^{−s}) ∏_{i=1}^{n}(1 − α_{i}q^{−s})(1 − α_{i}^{−1}q^{−s}))^{−1}, q = N_{k/ℚ}(v)

と定義する。ここで S = {∞_{j}}_{1≤j≤m} ∪ {v < ∞ | v | 𝔫} なる素点集合である。 □

1 Pullback formula

まず最初に、 Pullback formula の土台となる、 k 上の次数 2n の正則 Hilbert Siegel Eisenstein series E_{2n}(g; κ, 𝔫, θ) ∈ M_{κ}^{2n}(Γ(𝔫)), κ > 2n + 1 を定義する。

それは、各素点 v において Eisensten kernel ε_{v} を以下の様に指定する事で定義される。 (v が無限素点のとき)

u ∈ K_{∞} にたいして

ρ_{κ}(u) := det(a_{u} + i_{2n}b_{u})^{κ}

とし、 g = (g_{j}) ∈ Sp_{2n}(ℝ)^{m} を g_{j} = ( \begin{matrix}1 & S_{j} \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A_{j} & 0 \\ 0 & ^{t}A_{j}^{−1} \end{matrix} )u_{j}, u_{j} ∈ K_{∞} と岩沢分解して

ε_{∞}(g, κ) := ∏_{j=1}^{m} | det(A_{j})|_{v}^{κ}ρ_{κ}(u_{j})

(v ∤ 𝔫 な有限素点のとき)

g ∈ Sp_{2n}(k_{v}) = ( \begin{matrix}1 & S \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & ^{t}A^{−1} \end{matrix} )u, u ∈ Sp_{2n}(𝔒_{v}) と岩沢分解して、

ε_{v}(g; κ, 𝔫) := | det(A)|_{v}^{κ},

(v | 𝔫 な有限素点のとき)

g ∈ Sp_{2n}(k_{v}) が、 g = pu, p ∈ P_{2n}(k_{v}), u ∈ Γ_{2n}(𝔫_{v}) と書けるとき、

ε_{v}(g; κ, 𝔫) := | det(A)|_{v}^{κ},

それ以外では zero。

以上、各 ε_{v}, v < ∞ の定義はこれで十分なのだが、後の computation の為、以下のように異なる定義の仕方を与える。

ε_{v}(g_{v}; κ, 𝔫) := β^{−1} ∫_{GL_{2n}(k_{v})} | det(t)|^{κ}ϕ_{v}(t(0_{2n}, 1_{2n})g_{v})dt.

ここで、 v ≠ 𝔫のとき、 ϕ_{v} はM_{2n×4n}(𝔒_{v})の特性関数。 v | 𝔫のとき、 ϕ_{v} は{(u, v) ≡ (0_{2n}, 1_{2n}) (mod 𝔫_{v})} の特性関数。 β ∈ ℂ^{×} で ε_{v}(1; κ, 𝔫) = 1 となる様に調整しておく。

すると、 global な Eisenstein kernel ε を ε(g; κ, 𝔫) = ε_{∞}(g; κ) × ∏_{v:finite} ε_{v}(g; κ, 𝔫) とおいて、 Eisenstein series は

E_{2n}(g; κ, 𝔫, θ) := ∑_{γ∈P_{2n}(k)\Sp_{2n}(k)} ε(γgθ; κ, 𝔫), g ∈ Sp_{2n}(𝔸_{k})

と定義される。 (P_{2n} は Siegel parabolic subgroup) 但し、我々は今後の computation の為、 E_{2n} を以下の θ ∈ ∏_{v<∞} Sp_{2n}(𝔒_{v}) で動かした。 θ は v ∤ 𝔫 の成分を 1、 v | 𝔫 の成分を θ_{v} により

(0_{2n}, 1_{2n})θ_{v}^{−1} = ( \begin{matrix}1_{n} & 1_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} )

となる様にとる。 (とれる。また、 θ ∈ ∏_{v<∞} Sp_{2n}(𝔒_{v}) の取り方によらず、 E_{2n}(g; κ, 𝔫, θ) ∈ M_{κ}(Γ(𝔫)):

E(δgu; κ, 𝔫, θ) = E(g; κ, 𝔫, θ)

が任意の δ ∈ Sp_{2n}(k), g ∈ Sp_{2n}(𝔸_{k}), u ∈ Γ(𝔫)_{v}, v < ∞ に対して成立する。 ) 埋め込み ι : Sp_{n} × Sp_{n} → Sp_{2n} を

ι : Sp_{n} × Sp_{n} ∋ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ c′ & d′ \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}a & 0 & b & 0 \\ 0 & a′ & 0 & b′ \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c′ & 0 & d′ \end{matrix} ) ∈ Sp_{2n}

とし、この ι で引き戻す事で Eisenstein series を Sp_{n}(𝔸_{k}) × Sp_{n}(𝔸_{k}) の保型形式と見なす。この引き戻した E_{2n}((g_{1}, g_{2}); κ, 𝔫, θ) を、以後 E(g_{1}, g_{2}) と書くことにする。

Petersson 内積を、少なくとも一方は cuspform のペア f_{1}, f_{2} ∈ M_{κ}^{n}(Γ(𝔫)) に対して

< f_{1}, f_{2} >:= ∫_{Sp_{n}(k)\Sp_{n}(𝔸_{k})} f_{1}(g)\overline{f_{2}(g)}dg

(dg は各 K_{v} = K_{∞}、 Sp_{n}(𝔒_{v}) の volume を 1 とする Haar 測度。 ) と定義する。

Sp_{n}(𝔸) における involution ♮ を g^{♮} = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )g( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) とおき、 S_{κ}(Γ(𝔫)) における involution ♮(ℂ-anti linear) を

♮ : f(g) ⟼ f^{♮}(g) = \overline{f(g^{♮})}

とする。 f^{♮} の Fourier 係数は f のそれの複素共役 (定義 1 から従う。 )

すると Pullback formula は次の様に述べられる。

定理 1.1 (Pullback formula) f ∈ S_{κ}(Γ(𝔫))をHecke eigenformとする。 f(g_{1})とE(g_{1}, g_{2}) との Petersson 内積を取ると、

< E(g_{1}, g_{2}), f(g_{1}) > = [Sp_{2n}(𝔒) : Γ(𝔫)]^{−1}(i^{nκ}2^{\frac{(n^{2}+3n)}{2} −nκ+1}π^{n(n+1)/2})^{m}
×(\frac{ν(κ − \frac{(n+1)}{2})}{ν(κ)})^{m} \frac{L_{S}(κ − n, f)f^{♮}(g_{2})}{ζ_{S}(κ) ∏_{j=1}^{n} ζ_{S}(2κ − 2j)}  (1.1)

ここで、 ν(s) = ∏_{j=1}^{n} Γ(s − \frac{(j−1)}{2}) とガンマ関数の積で書かれる s の関数である。 □

以下、この Pullback formula の得られる課程を見ていく。

ξ_{j} = ( \begin{matrix}1_{n} & 0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & 1_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & diag[0_{n−j}, 1_{j}] & 1_{n} & 0_{n} \\ diag[0_{n−j}, 1_{j}] & 0_{n} & 0_{n} & 1_{n} \end{matrix} ) j ≠ n, ξ_{n} = ( \begin{matrix}0_{n} & 0_{n} & −1_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & 1_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 1_{n} & 1_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & 0_{n} & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} )

とおくと、次が成立する。

補題 1.2 (Garrett [6], [8]) K を任意の可換体とする。 Sp_{2n}(K) は次の軌道分解を持つ。

Sp_{2n}(K) = ⨆_{1≤j≤n} P_{2n}(K)ξ_{j} · ι(Sp_{n}(K) × Sp_{n}(K))  (1.2)

そして、 ξ_{j} の isotropy group

Ξ_{j} = {(g_{1}, g_{2}) ∈ Sp_{n}(K) × Sp_{n}(K) | P_{2n}(K)ξ_{j} · ι(g_{1}, g_{2}) = P_{2n}(K)ξ_{j}}

は、特に j = n のとき

Ξ_{n} = {(g, g^{♮}))} ≅ Sp_{n}(K)  (1.3)

が成立する。 □ ι で引き戻された E(g_{1}, g_{2}) は、上の分解 (1.2) に沿って

E(g_{1}, g_{2}) = ∑_{0≤j≤n} ω_{j}(g_{1}, g_{2}),
ω_{j}(g_{1}, g_{2}) = ∑_{γ∈Ξ_{j}\Sp_{n}(k)×Sp_{n}(k)} ε(ξ_{j}γ(g_{1}, g_{2})θ; κ, 𝔫)

と部分級数に分解されるが、次が成立する。

補題 1.3 1 ≤ j ≤ n − 1 ならば、 ω_{j}(g_{1}, g_{2}) = 0 □

(証明) 1 ≤ j ≤ n − 1 の範囲で、 v | 𝔫 において

ε_{v}(ξ_{j}ι(g_{1}, g_{2})θ; κ, 𝔫) = β^{−1} ∫_{GL_{2n}(k_{v})} | det(t)|^{κ}ϕ_{v}(t(0_{2n}, 1_{2n})ξ_{j}ι(g_{1}, g_{2})θ)dt  (1.4)

が zero である事を示せば良い。実際、 t ∈ GL_{2n}(k_{v}), g_{1}, g_{2} ∈ Sp_{n}(k_{v}) に対して積分内の関数が nonzero である為には、 (ϕ_{v} は {(u, v) ≡ (0_{2n}, 1_{2n}) (mod 𝔫_{v})} の特性関数であるから)

t(0_{2n}, 1_{2n})ξ_{j}ι(g_{1}, g_{2}) ≡ (0_{2n}, 1_{2n})θ^{−1} (mod 𝔫_{v})

である事が必要。これは、

t( \begin{matrix}0 & diag[0_{n−j}, 1_{j}] & 1_{n} & 0 \\ diag[0_{n−j}, 1_{j}] & 0 & 0 & 1_{n} \end{matrix} )ι(g_{1}, g_{2}) ≡ ( \begin{matrix}1_{n} & 1_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} ) (mod 𝔫_{v})

だが、この両辺の 2n × 4n-size の行列から 1 ∼ n 列と 2n + 1 ∼ 3n 列を取り出すと、

t( \begin{matrix}0 & 1_{n} \\ diag[0_{n−j}, 1_{j}] & 0 \end{matrix} )g_{1} ≡ ( \begin{matrix}1_{n} & 0 \\ 0 & −1_{n} \end{matrix} ) (mod 𝔫_{v})

となる。しかし、両辺の rank は異なっているので、 (1.4) 積分内の関数は常に zero。 ( 証終)

補題 1.3 から、 Pullback formula (1.1) の左辺は、結局

< E(g_{1}, g_{2}), f(g_{1}) > = < ω_{n}(g_{1}, g_{2}), f(g_{1}) >  (1.5)

なので、以下、 (1.5) の右辺を計算していく。 unfolding method により、

< ω_{n}(g_{1}, g_{2}), f(g_{1}) >
= ∫_{Sp_{n}(k)\Sp_{n}(𝔸_{k})} ∑_{γ∈Ξ_{n}\Sp_{n}(k)^{2}} ε_{∞}(ξ_{n}γ(g_{1}, g_{2}), κ)ε_{0}(ξ_{n}γ(g_{1}, g_{2}); κ, 𝔫)\overline{f(g_{1})} dg_{1},
= ∫_{Sp_{n}(𝔸_{k})} ε_{∞}(ξ_{n}(g_{1}, g_{2}); κ)ε_{0}(ξ_{n}(g_{1}, g_{2}); κ, 𝔫)\overline{f(g_{1})} dg_{1}

ここで、 ε_{v}, ε_{0} = ∏_{v:finite} ε_{v} をあらわし、 f は Sp_{n}(k)-left invariant な事を用いている。 (1.3) を用いて

= ∫_{Sp_{n}(𝔸_{k})} ε_{∞}(ξ_{n}((g_{2}^{♮})^{−1}g_{1}, 1); κ)ε_{0}(ξ_{n}((g_{2}^{♮})^{−1}g_{1}, 1); κ, 𝔫) \overline{f(g_{1})} dg_{1}

変数を g_{1} → (g_{2}^{♮})^{−1}g_{1} とずらす事で

= ∫_{Sp_{n}(𝔸_{k})} ε_{∞}(ξ_{n}g_{1∞}, 1; κ)ε_{0}(ξ_{n}(g_{1,0}, 1); κ, 𝔫)\overline{f(g_{2}^{♮}g_{1})} dg_{1}
= (∏_{v} T_{v})f(g_{2})

と local factor の積に分解できる。各 T_{v} は次のような convolution operator である。

T_{v}f(g_{2}) := ∫_{Sp_{n}(k_{v})} ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, 1); κ, 𝔫)\overline{f(g_{2}^{♮}g_{1v})} dg_{1v}.

では、各 T_{v} の計算を行う。 (v = ∞ の場合)

T_{v}f(g_{2}) = ∫_{Sp_{n}(ℝ)^{m}} ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, 1); κ)\overline{f(g_{2}^{♮}g_{1v})} dg_{1v}
= ∫_{Sp_{n}(ℝ)^{m}} ε_{v}(ξ_{n}((g_{2v}^{♮})^{−1}g_{1v}, 1); κ)\overline{f(g_{2,0}^{♮}g_{1v})} dg_{1v} (g_{1v} → g_{2v}^{♮}g_{1v} と変数変換)
= ∫_{Sp_{n}(ℝ)^{m}} ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, g_{2v}); κ)\overline{f(g_{2,0}^{♮}g_{1v})} dg_{1v}  ((1.3) を使う)

積分内が右 K_{∞}^{m} 不変なので、 ℌ_{n}^{m} ≃ Sp_{n}(ℝ)^{m}/K_{∞}^{m} 上の積分に帰着できる。

g_{1v} = ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y^{1/2} & 0 \\ 0 & ^{t}y^{−1/2} \end{matrix} ) , g_{2v} = ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}v^{1/2} & 0 \\ 0 & ^{t}v^{−1/2} \end{matrix} )

とすると、 g_{1v}(i) = x+iy, g_{2v}(i) = u+iv になる。このg_{1v}, g_{2v} にたいして、 ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, g_{2v}); κ) = (det y)^{κ/2}(det v)^{κ/2}(det z + w)^{−κ}, z = x + iy, w = u + iv と書ける事と F (x + iy) = (det y)^{−κ/2}f(g_{2,0}^{♮}g_{1v}) は、 f(g_{2,0}^{♮}g_{1}) に対応する classical な保型形式である事から、

∫_{Sp_{n}(ℝ)^{m}} ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, g_{2v}); κ)\overline{f(g_{2,0}^{♮}g_{1v})} dg_{1v} = 2(det v)^{κ/2} ∫_{ℌ_{n}^{m}} det(z + w)^{−κ}\overline{F (z)}(det y)^{κ} \frac{dxdy}{(det y)^{n+1}}

と計算できる。さらに F (z) = ∑_{T} V_{f,T} (1_{0}) exp(2πiTrace(T z)), (T は totally positive definite な対称行列を走る) と classical な Fourier 展開をすると、

2(det v)^{κ/2} ∫_{ℌ_{n}^{m}} det(z + w)^{−κ}\overline{F (z)}(det y)^{κ} \frac{dxdy}{(det y)^{n+1}}

= ∑_{T} \overline{V_{f,T} (1_{0})}(det v)^{κ/2} ∫_{ℌ_{n}^{m}} det(z + w)^{−κ}(det y)^{κ} exp(2πTrace(T (−ix − y)))\frac{dxdy}{(det y)^{n+1}}

= ∑_{T} \overline{V_{f,T} (1_{0})}(det v)^{κ/2} exp(2πiTrace(T w))

×((−1)^{nκ/2}2^{(n^{2}+3n)/2−nκ+1}π^{n(n+1)/2} \frac{ν_{n}(κ − (n + 1)/2)}{ν_{n}(κ)})

= f^{♮}(g_{2})((−1)^{nκ/2}2^{(n^{2}+3n)/2−nκ+1}π^{n(n+1)/2} \frac{ν_{n}(κ − (n + 1)/2)}{ν_{n}(κ)})

となる。 (ν_{n} の定義は定理 1.1 参照) (v ∤ 𝔫 の有限素点の場合)

ξ_{n} = ξ′_{n} · ι(w, 1), ξ′_{n} = ( \begin{matrix}1_{n} & 0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & 1_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & 1_{n} & 1_{n} & 0_{n} \\ 1_{n} & 0_{n} & 0_{n} & 1_{n} \end{matrix} ) , w = ( \begin{matrix}0 & −1_{n} \\ 1_{n} & 0 \end{matrix} )

である事から、 ε_{v}(ξ_{n}(g_{1v}, 1); κ, 𝔫) = ε_{v}(ξ′_{n}(w, 1)(g_{1v}, 1); κ, 𝔫) は

ε_{v}(ξ′_{n}(wg_{1v}, 1); κ, 𝔫) = ε_{v}(ξ′_{n}(g_{1v}, w^{♮}); κ, 𝔫) = ε_{v}(ξ′_{n}(g_{1v}, 1); κ, 𝔫)

と書けるので ((1.3) を用いた。 )、

T_{v}f(g_{2}) = ∫_{Sp_{n}(k_{v})} ε_{v}(ξ′_{n}(g_{1v}, 1); κ, 𝔫)\overline{f(g_{2}^{♮}g_{1v})} dg_{1v}

となる。しかし、 [12] の Good prime での computation(c.f. [14]) にあるように、佐武同型が

S_{U} : T_{v} ⟶ \frac{(1 − q^{−κ}) ∏_{j=1}^{n}(1 − q^{2j−2κ})}{(1 − q^{n−κ}) ∏_{j=1}^{n}(1 − X_{j}q^{n−κ})(1 − X_{j}^{−1}q^{n−κ})} ∈ ℂ[[X_{1}, …, X_{n}]]^{W} ,

(q = N_{k/ℚ}(v)) を誘導する。従って、 T_{v}f(g_{2}) = \frac{L_{v}(κ−n,f)}{ζ_{k,v}(κ) ∏_{j=1}^{n} ζ_{k,v}(2κ−2j)}f^{♮}(g_{2})。 (v | 𝔫 の有限素点の場合)

ε_{v}(ι(g_{1}, 1)θ; κ, 𝔫) = β^{−1} ∫_{GL_{2n}(k_{v})} | det(t)|^{κ}ϕ_{v}(t(0_{2n}, 1_{2n})ι(g_{1}, 1)θ)dt

であるが、 ϕ_{v} が nonzero である為には

t(0_{2n}, 1_{2n})ι(g_{1}, 1) ≡ (0_{2n}, 1_{2n})θ^{−1} = ( \begin{matrix}1_{n} & 1_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} ) (mod 𝔫_{v})  (1.6)

である事が必要。この行列から 1 ∼ n 列と 2n + 1 ∼ 3n 列、 n + 1 ∼ 2n 列と 3n + 1 ∼ 4n 列を取り出して、 (1.6) は

t ( \begin{matrix}1_{n} & 0 \\ 0 & −1_{n} \end{matrix} ) g_{1} ≡ ( \begin{matrix}1_{n} & 0 \\ 0 & −1_{n} \end{matrix} ) , t ( \begin{matrix}1_{n} & 0 \\ 0 & 1_{n} \end{matrix} ) ≡ ( \begin{matrix}1_{n} & 0 \\ 0 & 1_{n} \end{matrix} ) (mod 𝔫_{v})

と書ける。従って、 g_{1} ∈ Γ(𝔫)_{v} のとき ε(ι(g_{1}, 1); κ, 𝔫) = 1、 g_{1} ∉ Γ(𝔫)_{v} なら ε(ι(g_{1}, 1); κ, 𝔫) = 0 となり、 T_{v}f^{♮} = [Γ(1)_{v} : Γ(𝔫)_{v}]^{−1}f^{♮} がわかる。

以上で定理 1.1 が得られたが、この定理は明らかに次に同値である。

定理 1.4 (Pullback formula (II)) 記号、仮定は定理 1.1 と同じとする。 S_{κ}(Γ(𝔫)) の、 Hecke eigenform からなる orthogonal basis ℬ にたいして、

E(g_{1}, g_{2}) = ω_{n}(g_{1}, g_{2}) = ∑_{f∈ℬ} c_{λ_{f}} \frac{f(g_{1})f^{♮}(g_{2})}{< f, f >}  (1.7)

但し、 c_{λ_{f}} = [Sp_{2n}(𝔒) : Γ(𝔫)]^{−1}(i^{nκ}2^{\frac{(n^{2}+3n)}{2} −nκ+1}π^{n(n+1)/2})^{m}(\frac{ν(κ− \frac{(n+1)}{2} )}{ν(κ)})^{m} \frac{L_{S}(κ−n,f)f^{♮}(g_{2})}{ζ_{S}(κ) ∏_{j=1}^{n} ζ_{S}(2κ−2j)} で nonzero。 (nonzero である事の解説は [14] 参照。 ) □

2 Galois Equivalence Property

今後の結果を得る為に、次の M. Harris による定理を引用する。

定理 2.1 (Harris [9]) 任意の θ ∈ ∏_{v<∞} Sp_{2n}(𝔒_{v}) にたいして、 E(g; κ, 𝔫, θ) の Fourier 係数は ℚ の最大 Abel 拡大 ℚ_{ab} に含まれ、任意の σ ∈ Gal(ℚ_{ab}/ℚ) に対して次が成立する。

E(g; κ, 𝔫, θ)^{σ} = E(g; κ, 𝔫, θ^{σ}).

左辺の σ は Fourier 係数に σ を作用させるという意味で、右辺の θ^{σ} の定義は次のとうり。

類体論により、 Gal(ℚ_{ab}/ℚ) ∋ σ → α ∈ ∏_{p<∞} ℤ_{p}^{×} を対応させ、 σ̃ = ( \begin{matrix}α · 1_{2n} & 0 \\ 0 & 1_{2n} \end{matrix} ) とおき、

θ^{σ} = σ̃θσ̃^{−1}。 □

Harris の定理により、

命題 2.2 前節で指定した E(g; κ, 𝔫, θ) の Fourier 係数は ℚ に含まれる。従って ι で引き戻した E(g_{1}, g_{2}) の Fourier 係数も ℚ に含まれる。 □

(証明) Bad prime v | 𝔫 において、 ε_{v}(gθ; κ, 𝔫) = ε_{v}(gθ^{σ}; κ, 𝔫) を言えば良い。

ε_{v}(g_{v}θ^{σ}; κ, 𝔫) = ∫_{GL_{2n}(k_{v})} | det(t)|^{κ}ϕ_{v}(t(0_{2n}, 1_{2n})g_{v}θ^{σ})dt

で、右辺の積分内の関数が nonzero である為には、 t(0_{2n}, 1_{2n})g_{v}θ^{σ} が (0_{2n}, 1_{2n}) に modulo 𝔫_{v} で合同でなければならない。それは、

t(0_{2n}, 1_{2n})g_{v} ≡ (0_{2n}, 1_{2n})(θ^{σ})^{−1} (mod 𝔫_{v})

に同値だが、右辺は (0_{2n}, 1_{2n})(θ^{σ})^{−1} = (0_{2n}, 1_{2n})(σ̃θσ̃^{−1})^{−1} = (0_{2n}, 1_{2n})σ̃θ^{−1}σ̃^{−1} で

( \begin{matrix}1_{n} & 1_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} )σ̃^{−1} = ( \begin{matrix}α_{p}^{−1}1_{n} & α_{p}^{−1}1_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{n} & 1_{n} \end{matrix} )

と計算できる。そこで t → t( \begin{matrix}α_{p}1_{2n} & 0 \\ 0 & 1_{2n} \end{matrix} ) と変数変換する事で、 |α_{p}|_{v} = 1 に注意しつつ、 ε_{v}(gθ; κ, 𝔫) = ε_{v}(gθ^{σ}; κ, 𝔫) が言える。 (証終)

この命題と Pullback formula により、

命題 2.3 S_{κ}(Γ(𝔫)) は、 Fourier 係数が全て ℚ に含まれる cuspform からなる basis ℬ_{0} をもつ。 □

(証明) k = ℚ とする。記述の簡便化の為、保型形式の classical な Fourier 展開表示を使う。式 (1.7) から、 orthogoanal basis ℬ = {f_{j}} にたいして、

ω_{n}(z, w) = ∑_{f_{i}} c_{i}f_{i}(z)f_{i}^{♮}(w), z, w ∈ ℌ_{n}

となる。 e(Z) = exp(2πiTrace(Z)), Z ∈ M_{n}(ℂ) として、これは

∑_{S,T} A_{S,T} e(Sz + T w) = ∑_{i} c_{i}f_{i}(z)f_{i}^{♮}(w).

ここで、 Fourier 係数 A_{S,T} ∈ ℚ で S, T は positive semi-integral を走る。 β_{T}^{(i)} を f_{i}^{♮} の T での係数とすると、 e(T w) の Fourier 係数は

∑_{S} A_{S,T} e(Sz) = ∑_{i} c_{i}f_{i}(z)β_{T}^{(i)}.  (2.8)

そこで、 N = dim_{ℂ} S_{κ}(Γ(𝔫)) 個の {T_{j}} を行列 Φ = {c_{i}β_{T_{j}}^{(i)}}_{1≤i,j≤N} が可逆となる様に選ぶ。 (選べる! c_{i} ≠ 0 に注意) このとき、式 (2.8) から、

(∑_{S} A_{S,T_{1}} e(Sz), …, ∑_{S} A_{S,T_{N}} e(Sz)) = (f_{1}(z), …, f_{N}(z))Φ.

が得られ、左辺が望まれた basis ℬ_{0} である。 k が一般の総実体の場合も同様。 (証終)

系として、次が得られる。

系 2.4 f ∈ S_{κ}(Γ(𝔫)) なら、任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) に対して f^{σ} ∈ S_{κ}(Γ(𝔫))。 □

(証明) 先の basis ℬ_{0} = {g_{i}}_{1≤i≤N} を用いて、 f = ∑_{i} α_{i}g_{i}, α_{i} ∈ ℂ と書く。すると、 f^{σ} = (∑_{i} α_{i}g_{i})^{σ} = ∑_{i} α_{i}^{σ}g_{i} ∈ S_{κ}(Γ(𝔫))。 (証終)

{λ^{(i)}} を S_{κ}(Γ(𝔫)) に付随する Satake parameter の集合として、 S_{κ}(Γ(𝔫)) を次の様に分解する。

S_{κ}(Γ(𝔫)) = ⊕_{i}V_{λ^{(i)}}
V_{λ^{(i)}} = ⊕_{1≤j≤j_{λ^{(i)}}} ℂ f_{j}^{λ^{(i)}}

ここで、 f_{j}^{λ^{(i)}} は λ^{(i)} に対応した Hecke eigenform である。

この分解と系 2.4 から、 ℚ(λ^{(i)}) が有限次 (総実) 代数体である事もわかる。実際、 module として

V_{λ^{(i)}} ≃^{σ} V_{λ^{(i)}}^{σ} ≃ V_{(λ^{(i)})^{σ}}(⊂ S_{κ}(Γ(𝔫)))

が任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) に対して成立し、 dim_{ℂ} S_{κ}(Γ(𝔫)) < ∞ だからである。では、この節の主定理を示す。

定理 2.5 (特殊値の Galois Equvalence Property) κ, n:even κ > 2n+1、 f ∈ S_{κ}^{n}(Γ(𝔫)) で f の Fourier 係数は ℚ(λ_{f}) に含まれると仮定する。このとき、

\frac{L_{S}(κ − n, f)}{< f, f > π^{(2κn+κ−3n(n+1)/2)}} ∈ ℚ(λ_{f})  (2.9)

が成立し、任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) に対して次が成立する。

(\frac{L_{S}(κ − n, f)}{< f, f > π^{(2κn+κ−3n(n+1)/2)}} )^{σ} = \frac{L_{S}(κ − n, f^{σ})}{< f^{σ}, f^{σ} > π^{(2κn+κ−3n(n+1)/2)}} .  (2.10)
□

(証明) f = f_{1} を含む S_{κ}(Γ(𝔫)) の Hecke eigenform からなる orthogonal basis ℬ = {f_{j}} をとる。定理 1.4 により

ω_{n}(g_{1}, g_{2}) = ∑_{f_{j}∈ℬ} c_{λ_{f_{j}}} \frac{f_{j}(g_{1})f_{j}^{♮}(g_{2})}{< f_{j}, f_{j} >}.  (2.11)

σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) をこの両辺に作用させて、 (ω_{n} の Fourier 係数は ℚ に含まれる事を思い出しつつ)

ω_{n}(g_{1}, g_{2}) = ω_{n}(g_{1}, g_{2})^{σ} = ∑_{f_{j}∈ℬ}(c_{λ_{f_{j}}})^{σ} \frac{f_{j}^{σ}(g_{1})(f_{j}^{♮})^{σ}(g_{2})}{(< f_{j}, f_{j} >)^{σ}}  (2.12)

となる。

σ ∈ Aut(ℂ/ℚ(λ_{f})) として (2.11)=(2.12) の右辺と f(g_{1}) = f^{σ}(g_{1}) の Petersson 内積をとると、

c_{λ_{f}} f^{♮}(g_{2}) = (c_{λ_{f}})^{σ} \frac{< f, f >}{< f, f >^{σ}} (f^{♮})^{σ}(g_{2}) + ∑_{2≤j}(c_{λ_{f_{j}}})^{σ} \frac{< f_{j}^{σ}, f >}{(< f_{j}, f_{j} >)^{σ}} (f_{j}^{♮})^{σ}(g_{2})

を得る。 \{(f_{j}^{♮})^{σ}\} は線型独立で、 f = f^{♮} = (f^{♮})^{σ} だから、 c_{λ_{f}} = c_{λ_{f}}^{σ} \frac{<f,f>}{<f,f>^{σ}} となり、\frac{c_{λ_{f}}}{<f,f>} が σ で不変である事がわかる。 c_{λ_{f}} の値を代入することで (2.9) が導かれる。

以下、 σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) とする。 f^{σ} = f′_{1} を含む orthogonal basis ℬ′ = {f′_{j}} を用意する。やはり、定理 1.4 により

ω_{n}(g_{1}, g_{2}) = ∑_{f′_{j}∈ℬ′} c_{λ_{f′_{j}}} \frac{f′_{j}(g_{1})f_{j}^{′♮}(g_{2})}{< f′_{j}, f′_{j} >}.  (2.13)

(2.12)=(2.13) の右辺と f′_{1}(g_{1}) = f^{σ}(g_{1}) の Petersson 内積をとると、

(c_{λ_{f}})^{σ} \frac{< f^{σ}, f^{σ} >}{(< f, f >)^{σ}} (f^{♮})^{σ}(g_{2}) + ∑_{2≤j}(c_{λ_{f_{j}}})^{σ} \frac{< f_{j}^{σ}, f^{σ} >}{(< f_{j}, f_{j} >)^{σ}} (f_{j}^{♮})^{σ}(g_{2}) = c_{λ_{f}^{σ}}(f^{σ})^{♮}(g_{2})

を得る。 (f の Fourier 係数は総実故、 (f^{σ})^{♮} = (f^{♮})^{σ} に注意しつつ、 ){(f_{j}^{♮})^{σ}} は線型独立なので、 (c_{λ_{f}})^{σ} \frac{<f^{σ},f^{σ}>}{(<f,f>)^{σ}} = c_{λ_{f}^{σ}} を得、 (2.10) が従う。 (証終)

注意 2.6 上の証明から ℬ = {f_{j}} が S_{κ}(Γ(𝔫)) の (eigenforms の )orthogonal basis なら、 ℬ^{σ} = {f_{j}^{σ}} も orthogonal basis。

注意 2.7 上の定理では Fourier 係数が ℚ(λ_{f}) に含まれることを仮定したが、一般に空間 V_{λ_{f}} は、全ての Fourier 係数が ℚ(λ_{f}) に含まれる様な eigenforms で張れる事が次の補題からわかる。

補題 2.8 K(⊂ ℂ) を任意の体とし、 V ⊂ ℂ^{N} を ℂ ベクトル空間で Aut(ℂ/K)-stable とする。 (Aut(ℂ/K) はベクトルの各成分に作用させる。 ) このとき、 V は K-rational な basis を持つ。

(証明) 読者に任せる。

3 liftings, norm 商

まず、池田リフト、斎藤-黒川リフト、吉田リフトについて復習する。

定理 3.1 (斎藤-黒川リフト (form Hilbert modular form) [15])k を総実体、 φ ∈ S_{2κ−2}(Γ(𝔫)) を Hilbert modular Hecke eigenform とする。この時、次数 2 の k 上の Hilbert Siegel Hecke eigenform f = SK (φ) ∈ S_{κ+n}(Γ(𝔫))) で

L_{S}(s, f) = ζ_{k,S}(s)Z_{S}(s + κ − 1, φ)Z_{S}(s + κ − 2, φ)

となるものが存在する。ここで、 ζ_{k} は k の Dedekind zeta 関数、 Z_{S}(s, φ) は φ の通常の (degree 2 の ) 保型 L-関数。 □

定理 3.2 (池田リフト [10]) k = ℚ, κ, n:even, φ ∈ S_{2κ−n}(Γ(1)) を楕円 Hecke eigenform とする。この時、次数 n の Siegel Hecke eigenform f = I(φ) ∈ S_{κ−n}(Γ(1)) で

L(s, f) = ζ(s) ∏_{j=1}^{n} Z(s + κ − j, φ)

となるものが構成できる。特に、 n = 1 のときは ℚ 上の斎藤-黒川リフト。 □

上の 2 つの lift において、 Satake parameter を比べる事で、 ℚ(λ_{f}) ⊂ ℚ(λ_{φ}) がわかる。

定理 3.3 (吉田リフト [18], Böcherer and Schulze-Pillot [3]) κ ≥ 6:even, q:prime, φ_{1} ∈ S_{2κ−2}(Γ_{0}(q)), φ_{2} ∈ S_{2}(Γ_{0}(q)) を楕円 Hecke eigenform のペアで両者の保型形式 L-関数 Z_{S}(s, φ_{i}) の関数等式の符号は同じで newform とする。この時、次数 2 の Siegel Hecke eigenform f = Y (φ_{1}, φ_{2}) ∈ S_{κ}(Γ_{0}(q)) で

L_{S}(s, f) = ζ_{S}(s)L_{S}(s, φ_{1} ⊗ φ_{2})

となるものが構成できる。ここで ⊗ は Rankin-Selberg の convolution 積で、 L_{S}(s, f_{1} ⊗ f_{2}) は s = 1/2 で中心に持つように normalize させている。 □

吉田リフトにおいては、 ℚ(λ_{f}) ⊂ ℚ(λ_{φ_{1}})ℚ(λ_{φ_{2}}) がわかる。

では、これらのリフトにおいて、 preimage と image の Petersson norm に関する商が G.E.P を持つ事を見ていく。

定理 3.4 (Furusawa [5], Kohnen [11], Lanphier [13]) κ > 5、 f ∈ S_{κ}(Γ(𝔫)) を φ の斎藤-黒川リフトで、両者の Fourier 係数は ℚ(λ_{φ}) に含まれるとする。 (c.f. 注意 2.7) このとき、\frac{<φ,φ>}{<f,f>} ∈ ℚ(λ_{φ}) で

(\frac{< φ, φ >}{< f, f >})^{σ} = \frac{< φ^{σ}, φ^{σ} >}{< f^{σ}, f^{σ} >}

が, 任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) にたいして成立する。 □ (証明) まず、 n_{1}, n_{2} ∈ ℤ, m = [k : ℚ] として

A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ) = \frac{L_{S}(n_{1}, φ)L_{S}(n_{2}, φ)}{< φ, φ > π^{m(n_{1}+n_{2})}}, A_{2}(f) = \frac{L_{S}(κ − 2, f)}{< f, f > π^{(5κ−9)m}}

とおく。すると n_{1} = 2κ − 3, n_{2} = 2κ − 4 として、定理 3.1 から

\frac{< φ, φ >}{< f, f >} = \frac{L_{S}(2κ − 3, φ)L_{S}(2κ − 4, φ)}{π^{(4κ−7)m}A_{1}(2κ − 3, 2κ − 4, φ)} · \frac{π^{(5κ−9)m}A_{2}(f)}{L_{S}(κ − 2, f)}
= \frac{A_{2}(f)}{A_{1}(2κ − 3, 2κ − 4, φ)} · \frac{π^{(κ−2)m}L_{S}(2κ − 3, φ)L_{S}(2κ − 4, φ)}{ζ_{k,S}(κ − 2)L_{S}(2κ − 3, φ)L_{S}(2κ − 4, φ)}
= \frac{A_{2}(f)}{A_{1}(2κ − 3, 2κ − 4, φ)} · \frac{π^{(κ−2)m}}{ζ_{k,S}(κ − 2)}

と計算できる。\frac{π^{(κ−2)m}}{ζ_{k,S}(κ−2)} ∈ ℚ (c.f [7]) で、定理 2.5 により A_{2}(f) ∈ ℚ(λ_{f})(⊂ ℚ(λ_{φ})) で A_{2}(f)^{σ} = A_{2}(f^{σ}), σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) である。

更に、 n_{1} + n_{2} が odd ならば A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ) ∈ ℚ(λ_{φ}) で

A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ)^{σ} = A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ^{σ}), σ ∈ Aut(ℂ/ℚ)

である事が [16] により知られている。これらの事から我々の主張が従う。 (証終)

定理 3.5 (Choie and Kohnen [4], Lanphier [13]) f ∈ S_{κ}(Γ(1)) を φ ∈ S_{2κ−n}(Γ(1)) の次数 n の池田リフトで、両者の Fourier 係数は ℚ(λ_{φ}) に含まれるとする。

このとき、\frac{<φ,φ>^{n/2}}{<f,f>} ∈ ℚ(λ_{φ}) で

(\frac{< φ, φ >^{n/2}}{< f, f >} )^{σ} = \frac{< φ^{σ}, φ^{σ} >^{n/2}}{< f^{σ}, f^{σ} >}

が任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) にたいして成立する。 □

(証明) A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ) を定理 3.4 の証明と同じとして、

A_{n}(f) = \frac{L(κ − n, f)}{< f, f > π^{(2κ+1)n− \frac{3n(n+1)}{2}}}

とおく。定理 3.2 から

\frac{< φ, φ >^{n/2}}{< f, f >} = \frac{A_{n}(f)π^{(2κ+1)n− \frac{3n(n+1)}{2}}}{L(κ − n, f)} · < φ, φ >^{\frac{n}{2}}

= \frac{A_{n}(f)π^{(2κ+1)n− \frac{3n(n+1)}{2}}}{ζ(κ − n) ∏_{j=1}^{n} Z(2κ − n − j, φ)}· < φ, φ >^{\frac{n}{2}}
= \frac{π^{κ−n}}{ζ(κ − n)} · \frac{A_{n}(f)π^{2κn− \frac{(3n^{2}+n)}{2}}}{∏n−1 ; j:odd^{j=1} Z(2κ − n − j, φ)Z(2κ − n − j − 1, φ)}· < φ, φ >^{\frac{n}{2}}

= \frac{π^{κ−n}}{ζ(κ − n)} · \frac{A_{n}(f)π^{2κn− \frac{(3n^{2}+n)}{2}}}{∏n−1 ; j:odd^{j=1} (A_{1}(2κ − n − j, 2κ − n − j − 1, φ) < φ, φ > π^{4κ−2n−2i−1})}· < φ, φ >^{\frac{n}{2}}

= \frac{π^{κ−n}}{ζ(κ − n)} · \frac{A_{n}(f)}{∏n−1 ; j:odd^{j=1} (A_{1}(2κ − n − j, 2κ − n − j − 1, φ))}

と計算できて、\frac{π^{κ−n}}{ζ(κ−n)} ∈ ℚ で、定理 2.5 から、 A_{n}(f) ∈ ℚ(λ_{f}) ⊂ ℚ(λ_{φ}) で G.E.P を持つ (A_{1}(n_{1}, n_{2}, φ) も) 事から、我々の主張が得られる。 (証終)

定理 3.6 κ ≥ 6: even, φ_{1} ∈ S_{2κ−2}(Γ_{0}(q)), φ_{2} ∈ S_{2}(Γ_{0}(q)) とする。 f = Y (φ_{1}, φ_{2}) に対して、\frac{<φ_{1},φ_{1}>}{<f,f>π^{11−6κ}} ∈ ℚ(φ_{1}, φ_{2}) で

(\frac{< φ_{1}, φ_{1} >}{< f, f >})^{σ} = \frac{< φ_{1}^{σ}, φ_{1}^{σ} >}{< f^{σ}, f^{σ} >}

が任意の σ ∈ Aut(ℂ/ℚ) にたいして、成立する。 □

(証明) \frac{L_{S}(κ−3,φ_{1}⊗φ_{2})}{<φ_{1},φ_{1}>} ∈ ℚ(λ_{φ_{1}})ℚ(λ_{φ_{2}}) の G.E.P(c.f. p. 191 [7]) を用いて上の二定理同様に証明出来る。

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