Hilbert保型形式の場合のEisenstein級数についての解説

山内淳生

1 Eisenstein 級数の構成

この稿は、主に [1] の第 4 章の要約である。総実代数体 F について（[F : ℚ] = n ）、

GL^{+}(2, F) = {γ ∈ GL(2, F) |det(γ) >> 0}

なる群を考える。（ここで、 >> 0 は、総正を意味する。）このとき、当然 GL^{+}(2, F) ⊃ SL(2, F) であり、 GL^{+}(2, F) は Hilbert 上半空間

ℌ^{n} = {z = (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} |Im(z_{i}) > 0 for any 1 ≤ i ≤ n}

に componentwise に作用する。つまり、 α = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL^{+}(2, F) と、

z = (z_{1}, z_{2}, …, z_{n}) について、

α(z) = ((a_{1}z_{1} + b_{1})(c_{1}z_{1} + d_{1})^{−1}, …, (a_{n}z_{n} + b_{n})(c_{n}z_{n} + d_{n})^{−1})

ここで、 a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}, (1 ≤ i ≤ n) は、 a, b, c, d の i 番目の共役（F の ℝ への埋め込みを 1 番目から n 番目まで固定する）である。保型因子は、

j_{i}(α, z) = c_{i}z_{i} + d_{i} (1 ≤ i ≤ n),

となる。また、 ℌ^{n} 上の任意の（スカラー値）関数 f と k = (k_{1}, …, k_{n}) ∈ ℤ^{a} と α ∈ GL^{+}(2, F) について、 f|_{k}α なる ℌ^{n} 上の関数を、

(f|_{k}α)(z) = f(α(z)) ∏_{i=1}^{n} j_{i}(α, z)^{−k_{i}},

と定義すると、 |_{k}α は、 GL^{+}(2, F) の作用となっている。（つまり、 (f|_{k}α_{1})|_{k}α_{2} = f|_{k}(α_{1}α_{2}). ）

さて、次のような parabolic subgroup P を自然に定義できる。

P(F) = \{γ ∈ GL(2, F) |γ = ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ 0 & ∗ \end{matrix} )\} ,

そして、これについての Eisenstein 級数を、重さ k = (k_{1}, …, k_{n}) ∈ (2ℤ)^{n} の場合、

E(z, s; k, Γ) = ∑_{γ∈(P(F)∩Γ)\Γ} ∏_{i=1}^{n} (Im(z_{i})^{s−k_{i}/2}j_{i}(γ, z)^{−k_{i}} |j_{i}(γ, z)|^{−2s+k_{i}}) ,

と、定義することができる。なお、 Γ は、 SL(2, F) の合同部分群である。（この Γ が充分小さい場合、任意の k ∈ ℤ^{n} について定義できる。）この級数は、 Re(s) > 1 で局所一様絶対収束する。また、定義より当然、

E(z, s; k, Γ)|_{k}γ = E(z, s; k, Γ),

が、すべての γ ∈ Γ に対して成り立つ。この Eisenstein 級数は、重さが、 k = (κ, κ, …, κ) という（いわゆる parallel weight）場合で、 s = κ/2 の時（つまり κ ≥ 3 ）は、正則保型形式となる。一般の重さ k = (k_{1}, k_{2}, …, k_{n}) ∈ ℤ^{n}, で、正則とは限らない場合も含めると、各 1 ≤ i ≤ n について、

L_{i,k} = −4 · Im(z_{i})^{2−k_{i}} (\frac{∂}{∂z_{i}} ) Im(z_{i})^{k_{i}} (\frac{∂}{∂\overline{z_{i}}} ) ,

なる微分作用素を定義すると、

L_{i,k}E(z, s; k, Γ) = (s − \frac{k_{i}}{2} ) (1 − s − \frac{k_{i}}{2} ) E(z, s; k, Γ)

を満たす。この微分作用素ついては、 [3] を参照。

2 保型形式の Adele 化

一般に、 Hecke 作用素などを考えるため、 full modular でない合同部分群（level が 1 でない）の場合、 adele 化した保型形式を扱う必要がある。特に、 Hilbert 保型形式の場合、総実体 F の類数が 1 でない時は、 full modular についての保型形式であっても、 adele 化して考えなければならない。（何故 adele 化しないといけないかは、多分他の誰かが書いていると思われるので、省略します。なお、 adele 化した保型形式というものは、本質的には、通常の保型形式の有限個の直和になります。）

まず、 GL(2, F) と SL(2, F) の adele 化、 GL(2, F_{A}) と SL(2, F_{A}) を考える。（以下、 F_{A} が F の adele 環、 F_{A}^{×} が F の idele 群を意味する。）即ち、

GL(2, F_{A}) = GL(2, ℝ)^{n} × GL(2, F_{𝔣}),
SL(2, F_{A}) = SL(2, ℝ)^{n} × SL(2, F_{𝔣}),

但し、

GL(2, F_{𝔣}) = \{x = (x_{𝔭})_{𝔭} ∈ ∏_{𝔭}GL(2, F_{𝔭}) | \begin{matrix}x_{𝔭} ∈ GL(2, O_{𝔭}) \\ for almost every \\ finite prime 𝔭 of F \end{matrix} \}

SL(2, F_{𝔣}) = \{x = (x_{𝔭})_{𝔭} ∈ ∏_{𝔭}SL(2, F_{𝔭}) | \begin{matrix}x_{𝔭} ∈ SL(2, O_{𝔭}) \\ for almost every \\ finite prime 𝔭 of F \end{matrix} \}

である。ここで、 O_{𝔭} は、 F の整数環 O を、 𝔭-進付置で完備化した局所環である。これら GL(2, F_{A}), SL(2, F_{A}) の中へ、 GL(2, F), SL(2, F) が、いわゆる diagonal embedding で（つまり、各有限、無限素点ごとに通常の埋め込みで）埋め込まれている。

さて、 non-archimedean components である GL(2, F_{𝔣}) または SL(2, F_{𝔣}) の開コンパクト部分群 D_{𝔣} （つまり、 ∏_{𝔭} GL(2, O_{𝔭}) または ∏_{𝔭} SL(2, O_{𝔭}) と commensurable なもの）を取る。このとき、 D_{𝔣} についての重さ k = (k_{1}, …, k_{n}) ∈ ℤ^{n} のadele化した保型形式とは、 GL(2, F_{A}) またはSL(2, F_{A}) 上の ℂ-値関数 f で、次の条件 (1)-(4) を満たすものをいう。

(1) 任意の α ∈ GL(2, F) または ∈ SL(2, F) について、 f(αx) = f(x).

(2) 任意の d_{𝔣} ∈ D_{𝔣} について、 f(xd_{𝔣}) = f(x).

(3) 任意の (θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{n}) ∈ ℝ^{n} について、 f(x·c(θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{n})) = f(x)× ∏_{i=1}^{n} exp(\sqrt{−1}k_{i}θ_{i}), 但し、

c(θ_{1}, …, θ_{n}) = (( \begin{matrix}cos θ_{1} & sin θ_{1} \\ − sin θ_{1} & cos θ_{1} \end{matrix} ) , …, ( \begin{matrix}cos θ_{n} & sin θ_{n} \\ − sin θ_{n} & cos θ_{n} \end{matrix} )) ∈ SL(2, ℝ)^{n}.

(4) （GL(2, F_{A}) の場合のみ）ある Hecke character ω が存在して、任意の a ∈ F_{A}^{×} について、 f(ax) = ω(a)f(x).

この adele 化した保型形式 f と、各 p ∈ GL(2, F_{𝔣}) または ∈ SL(2, F_{𝔣}) について、 ℌ^{n} 上の関数 f_{p} を次のように定める。

f_{p}(z) = ω(det(α_{z})^{− \frac{1}{2}} )f(pα_{z}) · ∏_{i=1}^{n} j_{i}(α_{z}, i)^{k_{i}} det(α_{z,i})^{−k_{i}/2}.

ここで、 i = (\sqrt{−1}, …, \sqrt{−1}) ∈ ℌ^{n} で、 α_{z} ∈ GL^{+}(2, ℝ)^{n} または ∈ SL(2, ℝ)^{n} で、 α_{z}(i) = z となるものである。このとき、 f_{p}(z) は（上記の条件 (3) により） α_{z} の取り方によらない。また、任意の γ ∈ (SL(2, ℝ)^{n} × pD_{𝔣}p^{−1}) ∩ SL(2, F) について、

f_{p}|_{k}γ = f_{p}

が成り立つ。なお、両側剰余類

SL(2, F) \ SL(2, F_{A}) / SL(2, ℝ)^{n} × D_{𝔣}
Z(F_{∞}) · GL(2, F) \ GL(2, F_{A}) / GL(2, ℝ)^{n} × D_{𝔣}

は、いずれの場合も有限となるので、 adele 化された保型形式は、本質的に通常の保型形式の有限個の直積になっている。

3 Adele 化された Eisenstein 級数

まず、ベクトル空間 F^{2} の adele 化 (F_{A})^{2} 上の ℂ-値関数 φ を、

φ(v) = φ_{∞}(v_{∞}) · φ_{𝔣}(v_{𝔣}) 但し、 v = (v_{∞}, v_{𝔣})
φ_{∞} : (ℝ^{n})^{2}上の Schwarz 急減少関数
φ_{𝔣} : (F_{𝔣})^{2}上の locally constant, compact support な関数

ととる。さて、 idele norm | |_{F_{A}} を用いて、

F_{A}^{1} = {x ∈ F_{A}^{×} ||x|_{F_{A}} = 1}

と定義すると、この F_{A}^{1} は compact である。自然に、

F_{A}^{×}/F^{×} = ℝ^{+} × F_{A}^{1}/F^{×}

という直積分解ができる。なお、 ℝ^{+} は、 ℝ^{n}(⊂ F_{A}^{×}) に r → (r^{1/n}, …, r^{1/n}) と埋め込むものとする。

Unitary な（つまり値の絶対値が常に 1 である） Hecke character ω, χ を、 ω|_{ℝ^{+}} が自明となるようにとる。このとき、この φ, ω, χ についての Eisenstein 級数を、次のように定義できる。（ここで、 g ∈ GL(2, F_{A}). ）

\begin{matrix}E^{∗}(g; φ, s; ω, χ) \\ = χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫_{F_{A}^{×}/F^{×}} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ(tvg)) d^{×}t. \end{matrix}

この積分は、 Re(s) > 1 で局所一様絶対収束する。この Eisenstein 級数をより分かりやすくするため、

ε(g) = χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫_{F_{A}^{×}} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t)φ(t(0, 1)g)d^{×}t,

という関数を考える。このとき、任意の γ ∈ P(F) について、 ε(γg) = ε(g) が成り立ち、かつ

E^{∗}(g; φ, s; ω, χ) = ∑_{P(F)\GL(2,F)} ε(γg)

である。このように書くと、いかにも Eisenstein 級数らしく見える。（ここで、 P(F) \ GL(2, F) ≅ (F^{2} − {0})/F^{×} を使っている。）この Eisenstein 級数は、前節に述べた adele 化した保型形式の条件のうち、 (3) 以外は全て満たしている。

一般に、重さ k = (k_{1}, …, k_{n}) の Eisenstein 級数という場合は、 φ_{∞} を次のように取る。

φ_{∞} = ∏_{i=1}^{n} φ_{i}
φ_{i}(v_{1}, v_{2}) = exp(−π(v_{1,i}^{2} + v_{2,i}^{2}))(−\sqrt{−1}v_{1,i} + v_{2,i})^{k_{i}} if k_{i} ≥ 0
φ_{i}(v_{1}, v_{2}) = exp(−π(v_{1,i}^{2} + v_{2,i}^{2}))(\sqrt{−1}v_{1,i} + v_{2,i})^{−k_{i}} if k_{i} < 0.

このとき、 E^{∗}(g; φ, s; ω, χ) は、前節の条件 (1)-(4) を全て満たす。最も簡単な、 F = ℚ, 重さ κ ≥ 4 の場合で、 φ = φ_{∞}φ_{𝔣} を、

φ_{𝔣} = characteristic function of (∏_{p} ℤ_{p}, ∏_{p} ℤ_{p})
φ_{∞}(v_{1}, v_{2}) = exp(−π(v_{1}^{2} + v_{2}^{2}))(−\sqrt{−1}v_{1} + v_{2})^{κ},

さらに、 ω = χ = 1 というときを考える。この場合、任意の x ∈ ℝ, y ∈ ℝ^{+} について（z = x + \sqrt{−1}y とおくと）、

\begin{aligned}& E^{∗} (( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y^{1/2} & 0 \\ 0 & y^{−1/2} \end{matrix} ); φ, s; ω, χ) \\ = & π^{−s}Γ(s)ζ(2s) ∑_{γ∈SL(2,ℤ)}Im(z)^{s} |j(γ, z)|^{−2s+κ} j(γ, z)^{−κ} \end{aligned}

となり、第１節で考えた Eisenstein 級数と本質的に同じである。

4 函数等式

前節で定義した Eisenstein 級数について、函数等式を考える。定理関数 φ を Fourier 変換したものを、 φ̂ と書く。このとき、次の函数等式が成り立つ。

E^{∗}(g; φ, s; ω, χ) = E^{∗}(^{t}g^{−1}; φ̂, 1 − s; \overline{ω}, \overline{χ}).

この Eisenstein 級数は、 s について全平面に有理型に解析接続され、極は位数 1 で、次の 2 点のみである。

\begin{matrix}s = 0 & のときで、留数は & −\frac{1}{2}χ(det(g))φ(0)δ(ωχ^{2}) \\ s = 1 & のときで、留数は & \frac{1}{2}χ(det(g))φ̂(0)δ(ωχ^{2}) \end{matrix}

但し、

δ(ωχ^{2}) = δ(\overline{ωχ^{2}}) = ∫_{F_{A}^{1}/F^{×}} ωχ^{2}(t)d^{×}t

で、これは、 ωχ^{2} が F_{A}^{1}/F^{×} で恒等的に 1 でなければ、 δ(ωχ^{2}) = 0 である。証明 Adelic な場合の Poisson 和公式、

∑_{v∈F^{2}} φ(v) = ∑_{v∈F^{2}} φ̂(v)

を使う。これは少し変形すると、

∑_{v∈F^{2}} φ(vg) = |det(g)|_{F_{A}}^{−1} ∑_{v∈F^{2}} φ̂(v^{t}g^{−1})

である。実質的には、 v は F^{2} の中のある lattice を走っていることに注意。（関数 φ_{𝔣} が compact support であることより、ある lattice の点以外では 0 になる。）まず、

E^{∗}(g; φ, s; ω, χ)

= χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫_{F_{A}^{×}/F^{×}} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ(tvg)) d^{×}t

= χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} ≥ 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ(tvg)) d^{×}t

+χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ(tvg)) d^{×}t

と変形し、右辺の上段を I_{1}, 下段を I_{2} とおく。このとき、 I_{1} は、全平面正則（s について）な函数である。ここで、 Adelic な Poisson 和公式を使うと、

I_{2} + χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t)φ(0)d^{×}t

= χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}} φ(tvg)) d^{×}t
= χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s−1} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s−2} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}} φ̂(t^{−1}v^{t}g^{−1})) d^{×}t

= χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s−1} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s−2} \overline{ωχ^{2}}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ̂(t^{−1}v^{t}g^{−1})) d^{×}t

+χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s−1} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s−2} \overline{ωχ^{2}}(t)φ̂(0)d^{×}t.

この式の右辺の上段を J_{1} とおき、 t → t^{−1} の変数変換をすると、

J_{1} = χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s−1} ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} > 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{−2s+2} \overline{ωχ^{2}}(t^{−1}) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ̂(tv^{t}g^{−1})) d^{×}t

= \overline{χ}(det(^{t}g^{−1})) |det(^{t}g^{−1})|_{F_{A}}^{1−s} ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} > 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{−2s+2} ωχ^{2}(t) ( ∑_{v∈F^{2}−\{0\}} φ̂(tv^{t}g^{−1})) d^{×}t

となり、これは E^{∗}(^{t}g^{−1}; φ̂, 1 − s; \overline{ω}, \overline{χ}) についての I_{1} である。（つまり、 1 − s の函数として、全平面正則である。）よって、これらをまとめると、

E^{∗}(g; φ, s; ω, χ)

= I_{1} + J_{1}

−χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s} \overline{ωχ^{2}}(t)φ(0)d^{×}t

+χ(det(g)) |det(g)|_{F_{A}}^{s−1} · ∫ \begin{matrix}t ∈ F_{A}^{×}/F^{×} \\ |t|_{F_{A}} < 1 \end{matrix} |t|_{F_{A}}^{2s−2} \overline{ωχ^{2}}(t)φ̂(0)d^{×}t,

となる。この式の右辺の第２行は、 Re(s) > 0 で収束し、値は

−\frac{1}{2s}χ(det(g))φ(0)δ(ωχ^{2})

で、第３行は、 Re(s) > 1 で収束し、値は

\frac{1}{2s − 2}χ(det(g))φ̂(0)δ(ωχ^{2})

である。よって、当然ながらどちらも全平面に有理（型）函数として解析接続される。このようにして、函数等式と、全平面への有理型解析接続が証明できた。

5 Eisenstein 級数の Fourier 係数

重さ (κ, κ, …, κ) で、 s = κ/2 の Eisenstein 級数の Fourier 展開について述べることにする。（なお、重さが各無限素点で揃っていない場合は、 Eisenstein 級数は、正則とはならない。こういう non-parallel な重さの Hilbert 正則保型形式は、 cusp form しかないことは、よく知られている。）まず、 F の整数環を O, その F_{𝔣} での閉包を Ô とし、また

O^{∗} = {a ∈ F |Tr_{F/ℚ}(ac) ∈ ℤ for any c ∈ O}

とする。このとき、 φ を、

φ_{𝔣} = characteristic function of (Ô, Ô)
φ_{∞} = ∏_{i=1}^{n} φ_{i}
φ_{i}(v_{1}, v_{2}) = exp(−π(v_{1,i}^{2} + v_{2,i}^{2}))(−\sqrt{−1}v_{1,i} + v_{2,i})^{κ},

ととる。このとき（任意の x ∈ F_{A}, y ∈ F_{A}^{×} について）、

E^{∗} (( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ); φ, \frac{1}{2}κ; ω, χ)

= χ(y) |y|_{F_{A}}^{κ/2} \{π^{−nκ}Γ(κ)^{n}L(κ, \overline{ωχ^{2}})

+sgn(y_{∞})(−2\sqrt{−1})^{nκ}D^{−1/2}

× ∑_{ξ∈F^{×}} σ_{κ−1}(ξ_{𝔣}y_{𝔣}; \overline{ωχ^{2}})τ(ξx) exp (−2π ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}y_{i})\}

という Fourier 展開が成り立つ。但し、 D は F の different で、 L(·, \overline{ωχ^{2}}) は通常の L-函数、また τ は F_{A}/F の standard additive character である。ここで、 ξ は、 (ξ_{∞}y_{∞}) = (ξ_{1}y_{1}, …, ξ_{n}y_{n}) が、総正となるように動く。また、 σ_{κ−1}(a, \overline{ωχ^{2}}) (a ∈ F_{A}^{×}) は、

σ_{κ−1}(a, \overline{ωχ^{2}}) = ∑_{𝔞}ωχ^{2}(𝔞)N(𝔞)^{κ−1}

（ただし、 𝔞 は F の分数イデアルで、 𝔞 ⊂ O^{∗}, aÔ ⊂ 𝔞Ô となるもの全てを動く）である。つまり、 elliptic な Eisenstein 級数の係数の「約数の κ − 1 乗の和」の一般化である。

このような Fourier 展開から、例えば正則保型形式の各 Fourier 係数に θ ∈ Aut(ℂ) を施すいわゆる Galois action により、 Eisenstein 級数はやはり Eisenstein 級数に移されることが分かる。（しかもその行き先がはっきり分かる。）

なお、このような Eisenstein 級数の Fourier 係数の計算は、一般的には [2] で行われている種類の計算を用いる。

参考文献

[1] P. B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms, Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series.

[2] G. Shimura, Confluent hypergeometric functions on tube domains, Math. Ann. 260(1982), 269-302.

[3] G. Shimura, On the Eisenstein series of Hilbert modular groups, Revista Mathematica Iberoamericana 1(1985), 1-42