KATZ p-ADIC MODULAR FORMS

山上敦士（京大理）

講演要旨

私の講演では, Katz により定式化された p-adic modular form の理論を, 有理数体 ℚ 上の場合は主に Gouvêa [3] を, 総実代数体上の場合は主に Goren [2] をそれぞれ参考にして紹介させていただく. ちなみに, 原論文としては Katz の一連の論文 [5], [6], [7], [8], [9], [10] そして [11] が挙げられる.

まだ準備段階ではあるが,

Contents (仮)

Chapter 1 Katz p-adic elliptic modular forms 1.1 Classical modular forms 1.2 Overconvergent modular forms

Chapter 2 Katz p-adic Hilbert modular forms 2.1 Classical modular forms 2.2 Overconvergent modular forms

という流れでお話できればと考えている.

Chapter 1 では, ℚ 上の Katz p-adic modular form について, 主に [3] を参考に概説する.

まず Section 1.1 で, p-adic ring 上の classical modular form の幾何的定式化を行い, Section 1.2 において, [3, Section I.2] に沿って overconvergent modular form を定義して, classcal modular form とどのような点が違うのか説明したい. さらに Serre [12] による p-adic modular form との関係について紹介する.

Chapter 2 では, 総実代数体上の Katz p-adic modular form について, 主に [2] を参考に概説したい.

Section 2.1 では, [2, Section 5.1] を参考に classical modular form の幾何的定式化をして, Section 2.2 で [2, Section 5.6] に沿って overconvergent modular form を定義し, classical modular form との関係や Serre 流の p-adic modular form との関連について紹介したい.

ℚ 上から総実代数体上へと modular form の定式化を一般化する際に生じる問題点をしっかり押さえる形で概説できればと考えている.

Date: May 23, 2005.

References

[1] F. Andreatta and E.Z. Goren, Hilbert modular forms: mod p and p-adic aspects, Mem. Amer. Math. Soc. 175 (2005), no. 819, vi+ 100 pp.

[2] E.Z. Goren, “Lectures on Hilbert Modular Varieties and Modular Forms,” CRM Monograph Series, Vol. 14, American Mathematical Society, 2002.

[3] F.Q. Gouvêa, “Arithmetic of p-adic Modular Forms,” Lecture Notes in Math., vol. 1304, Springer-Verlag, Berlin and Heidelberg, 1988.

[4] H. Hida, “Geometric Modular Forms and Elliptic Curves,” World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000.

[5] N.M. Katz, p-adic properties of modular schemes and modular forms, in “Modular Functions of One Variable III,” Lecture Notes in Math., vol. 350, pp. 69-190, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

[6] N.M. Katz, Higher congruences between modular forms, Ann. of Math. 101 (1975), 332-367.

[7] N.M. Katz, p-adic L-functions via moduli of elliptic curves, in “Algebraic Geometry: Arcata 1974,” Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 29, pp. 479-506, American Mathematical Society, 1975.

[8] N.M. Katz, p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series, Ann. of Math. 104 (1976), 459-571.

[9] N.M. Katz, The Eisenstein measure and p-adic interpolation, Amer. J. of Math. 99 (1977), 238-311.

[10] N.M. Katz, A result on modular forms in characteristic p, in “Modular Functions of One Variable V,” Lecture Notes in Math., vol. 601, pp. 53-61, Springer-Verlag, Berlin, 1977.

[11] N.M. Katz, p-adic L-functions for CM fields, Invent. Math. 49 (1978), 199-297.

[12] J.-P. Serre, Formes modulaires et founctions zeta p-adiques, in “Modular Functions of One Variable III,” Lecture Notes in Math., vol. 350, pp. 191-268, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

Department of Mathematics, Kyoto University, Kyoto, 606-8502, Japan

E-mail address: yamagami@math.kyoto-u.ac.jp