Diophantine m-tuples

東北大学大学院理学研究科藤田育嗣 (Yasutsugu Fujita)

1 Known Results (cf. [7])

Diophantus は次の問題を提起した:

各 2 数の積に 1 加えたもの a_{i}a_{j} + 1 (1 ≤ i < j ≤ 4) が平方数となるような 4 数 {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} を探せ.

有理数からなる解 {1/16, 33/16, 68/16, 105/16} は Diophantus 自身によるが, 最初の正整数からなる解 {1, 3, 8, 120} は Fermat によって発見された.

定義 1. 0 でない整数 n に対し, m 個の相異なる正整数の集合 {a_{1}, …, a_{m}} が D(n)-m-tuple (または Diophantine m-tuple with the property D(n), または P_{n}-set of size m) であるとは, 各 1 ≤ i < j ≤ m に対し a_{i}a_{j} + n が平方数であるときにいう. (n = 1 のときは, しばしば, 単に Diophantine m-tuples という.)

本節では, D(n)-m-tuples について知られていることを紹介する.

• \underline{n = 1 の場合.}

任意の D(1)-pair \{a, b\} (r := \sqrt{ab + 1} ) は D(1)-quadruple に拡張できる (Euler):

{a, b, a + b + 2r, 4r(a + r)(b + r)}.

上の triple {a, b, a + b + 2r} を Euler の D(1)-triple (または regular D(1)-triple) と呼ぶ. D(1)-pair {a, b} (a < b) が与えられたとき, それは, b < c なる最小の D(1)-triple {a, b, c} であることは容易に分かる. さらに, 任意の D(1)-triple \{a, b, c\} (r := \sqrt{ab + 1}, s := \sqrt{ac + 1}, t := \sqrt{bc + 1} ) は D(1)-quadruple に拡張できる (Arkin-Hoggatt-Strauss [1]):

{a, b, c, d_{+}}, d_{+} := a + b + c + 2abc + 2rst.

(∵ ad_{+}+1 = (at+rs)^{2}, bd_{+}+1 = (bs+rt)^{2}, cd_{+}+1 = (cr+st)^{2}. ちなみに, d_{−} := a+b+c+2abc−2rst とおくとき, c > a + b + 2r ならば {a, b, c, d_{−}} も D(1)-quadruple である.)

このような quadruple {a, b, c, d_{+}} を regular D(1)-quadruple と呼ぶ. D(1)-triple {a, b, c} (a < b < c) が与えられたとき, それは, c < d なる最小の D(1)-quadruple {a, b, c, d} であることが知られている ([17, Lemma 6]).

予想 1. ([1]) 任意の D(1)-quadruple は regular である.

予想 1 が正しければ, 次の古くからある予想も正しいことが即座に分かる.

予想 2. D(1)-quintuple は存在しない.

予想 2 の解決は, もう一歩というところまできている:

定理 1. (Dujella [17]) (i) D(1)-sextuple は存在しない.

(ii) D(1)-quintuples は高々有限個 (10^{1930} 個) しか存在しない.

予想 1 を支持する最初の結果は, Baker-Davenport によるものである.

定理 2. ([2]) {1, 3, 8, d} が D(1)-quadruple ならば, d = 120(= d_{+}) である (従って, {1, 3, 8} は D(1)-quintuple に拡張できない).

定理 2 は, 以下の 3 通りに一般化されている.

定理 3. (Dujella [7]) {k−1, k+1, 4k, d} (k ≥ 2) が D(1)-quadruple ならば, d = 4k(4k^{2} −1)(= d_{+}) である (従って, {k − 1, k + 1, 4k} は D(1)-quintuple に拡張できない).

定理 4. (Dujella-Pethő [22]) {1, 3, c, d} (c < d) が D(1)-quadruple ならば, d = c_{ν+1}(= d_{+}) である. ここで, c = c_{ν} (ν ≥ 1) は, {1, 3, c_{ν}} が Diophantine triple となるような数 (c_{1} = 8 < c_{2} < c_{3} < ⋯) である (従って, {1, 3} は D(1)-quintuple に拡張できない).

定理 5. (Dujella [11]) {F_{2k}, F_{2k+2}, F_{2k+4}, d} (k ≥ 1) が D(1)-quadruple ならば, d = 4F_{2k+1}F_{2k+2}F_{2k+3}(= d_{+}) である. ここで, F_{n} は n 番目の Fibonacci 数である (従って, {F_{2k}, F_{2k+2}, F_{2k+4}} は D(1)-quintuple に拡張できない).

さらに, 定理 3 と 4 の結果はおおよそ一般化されている.

定理 6. ([29]) 整数 k ≥ 2 に対し, 整数 c = c_{ν} を次で定義する :

c_{ν} := \frac{1}{2(k^{2} − 1)} × \{(k + \sqrt{k^{2} − 1})^{2ν+1} + (k − \sqrt{k^{2} − 1})^{2ν+1} − 2k\} (ν = 1, 2, …). (1)

c ≠ c_{2} に対し, もし {k − 1, k + 1, c, d} (c < d) が D(1)-quadruple ならば, d = c_{ν+1}(= d_{+}) である (c_{1} = 4k, c_{2} = 4k(4k^{2} − 1), c_{3} = 8k(8k^{4} − 6k^{2} + 1), …).

第 2 節で, この定理の証明の概略を述べる. 定理 6 から即座に次が分かる.

系 1. 整数 k ≥ 2 に対し, {k − 1, k + 1} は D(1)-quintuple に拡張できない.

[系の証明] {k − 1, k + 1, c_{2}, c, d} (c_{2} < c = c_{ν} < d) が D(1)-quintuple でないことを示せばよい. これが D(1)-quintuple であると仮定する. d_{+}, d′_{+} をそれぞれ {k − 1, k + 1, c, d_{+}}, {k + 1, c_{2}, c, d′_{+}} が regular となるような数とすると, regular D(1)-quadruple の最小性と d_{+}, d′_{+} の定義から,

d ≥ d′_{+} > d_{+} = c_{ν+1}

が分かるが, これは定理 6 に反する. 最近, c = c_{2} の場合にも定理 6 が証明され, 従って定理 3 と 4 の結果の完全な一般化がなされた.

定理 7. (Bugeaud-Dujella-Mignotte [6]) 定理 6 の記号の下で, もし {k − 1, k + 1, c_{2}, d} (c_{2} < d) が D(1)-quadruple なら, d = c_{3}(= d_{+}) である.

注意 1. (1) 性質 D(n) をもつ m 個の相異なる有理数 (≠ 0) の組を rational D(n)-m-tuple という. もし {a, b, c, d} が D(1)-quadruple なら, {a, b, c, d, e} が rational D(1)-quintuple となるような 0 < e < 1 が存在する ([8]). また, rational D(1)-sextuples が存在することも知られている ([32]). 例えば,

{11/192, 35/192, 155/27, 512/27, 1235/48, 180873/16}.

(2) 性質 D(n) をもつ m 個の相異なる整数係数の多項式 (≠ 0, すべてが定数ではない) の組を, polynomial D(n)-m-tuple という. polynomial D(1)-quadruple は regular であることが知られている ([20]).

(3) n = 4 の場合も, 上と同様に調べられる. 例えば, {F_{2k}, 5F_{2k}, F_{2k+2}, d} が D(4)-quadruple なら d = 4L_{2k}F_{4k+2} ([24]) であり, {k − 2, k + 2, 4k, d} が D(4)-quadruple なら d = 4k(k^{2} − 1) である ([26]).

• \underline{n = −1 の場合.}

次の定理により, D(−1)-quintuple は存在しないことが分かる:

定理 8. (Dujella-Fuchs [21]) 2 ≤ a < b < c < d なら, {a, b, c, d} は D(−1)-quadruple ではない.

この定理から, 次の Diophantus と Euler の問題が肯定的に解決される:

“各 a_{i}a_{j} + (a_{i} + a_{j}) (1 ≤ i < j ≤ 4) が平方数となるような 4 つの正整数 {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} は存在しない.”

従って D(−1)-triples {1, b, c} の拡張可能性が問題となるが, b = 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82 の各場合には拡張できないことが知られている ([12, 25, 27, 40]). また, 最近, D(−1)-quadruples は高々有限個しか存在しないことが示された (Dujella-Filipin-Fuchs [18]).

注意 2. (1) polynomial D(−1)-quadruple は存在しないことが知られている ([19]).

(2) {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} を D(−4)-quadruple とすると, 各 a_{i} は偶数であることが分かり, {a_{1}/2, a_{2}/2, a_{3}/2, a_{4}/2} が D(−1)-quadruple となる ([8, Remark 3]). 従って, D(−1)-quadruple が存在しないことが分かれば, D(−4)-quadruple が存在しないことが分かる.

(3) {a, b, c} を D(−1)-triple とすると,

ad + 1 = □, bd + 1 = □, cd + 1 = □ (□ : 平方数)

をみたす整数 d が存在する (∵ r := \sqrt{ab − 1}, s := \sqrt{ac − 1}, t := \sqrt{bc − 1} とするとき, d := d^{±} := −(a + b + c) + 2abc ± 2rst とおけばよい. ただし, d^{−} > 0 ⟺ c > a + b + 2r である). d > 0 のとき {a, b, c; d} は性質 D(−1; 1) をもつということにすると, 次が分かる.

• {F_{2k+1}, F_{2k+3}, F_{2k+5}, d} : D(−1; 1) (k ≥ 0) ⟹ d = 4F_{2k+1}F_{2k+3}F_{2k+5}(= d^{±}) ([30]).

• {1, 2, c; d} : D(−1; 1) ⟹ d = d^{±} ([31]).

• \underline{一般の n の場合.}

まず, すべての整数 n ≠ 0 に対して, D(n)-triple は存在する.

∵ · n ≡ 2 (mod 4) ⟹ {1, k^{2} − 2k − 1, k^{2} + 2} : D(4k + 2).

· n ≢ 2 (mod 4) ⟹ n = b^{2} − a^{2} (∃a, ∃b ∈ Z_{>0})

⟹ {a, 2a + 2b, 5a + 4b} : D(n).

n ≡ 2 (mod 4) ならば D(n)-quadruple は存在しないことも容易に分かる ([5, 33, 35]).

∵ {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}} : D(n) ⟹ a_{i}a_{j} ≡ 2 または 3 (mod 4)

⟹ ∀a_{i} ≢ 0 (mod 4) ⟹ a_{i} ≡ a_{j} (mod 4) (∃i, ∃j)

⟹ a_{i}a_{j} ≡ 0 または 1 (mod 4), 矛盾.

Dujella は, n ≢ 2 (mod 4) かつ n ∉ S := {−4, −3, −1, 3, 5, 8, 12, 20} ならばいつも D(n)-quadruple が存在することを示した ([8]). より正確に,

n = 4k + 3, 8k + 1, 8k + 5, 8k, 16k + 4, 16k + 12

の各場合に “多項式” D(n)-quadruple を与えた. 例えば, , {1, 9k^{2} + 8k + 1, 9k^{2} + 14k + 6, 36k^{2} + 44k + 13} は D(4k + 3)-quadruple である. ここで, k = 0, −1 とすれば上の集合に 1 が 2 度現れてしまう. こうした k の値に対応する n が例外集合 S を構成している.

予想 3. ([10]) n ∈ S ならば, D(n)-quadruple は存在しない.

M_{n} := sup{m; {a_{1}, …, a_{m}} : D(n)} とおくとき, M_{n} の上限について次のようなことが知られている ([16]):

M_{n} ≤ 31 (|n| ≤ 400), M_{n} < 15.476 log |n| (|n| > 400).

一般に, n ∉ {±1, ±4} のとき, mod 4, 8, 16 で調べて不明な場合には, D(n)-triple {a, b, c} の拡張可能性を調べるのは難しい. その理由の一つは

ay^{2} − bx^{2} = 1, az^{2} − cx^{2} = 1, bz^{2} − cy^{2} = 1.  (2)

の基本解が一般には分からないことである. 今, D(4k)-triple {1, 4k(k − 1), 4k^{2} + 1} (k ∈ Z) を考えると, 各 ab, ac, bc は Richaud-Degert type (cf. [36, Section 3.2]) なので, (2) の基本解が分かる. さらに, |k| が素数なら,

z^{2} − (4k^{2} + 1)x^{2} = −16k^{3}

の基本解を完全に決定することができ, {1, 4k(k − 1), 4k^{2} + 1} が D(4k)-quadruple に拡張できないことが分かる. ∵ 次の事実を使って示される (cf. [38]).

X^{2} − DY^{2} = N  (3)

について,

• (X_{0}, Y_{0}) : 原始解 ⟹ ∃j ∈ Z s.t. X_{0} ≡ jY_{0}, j^{2} ≡ D (mod N) (このとき, “(X_{0}, Y_{0}) は j に属する” という).

• j ≡ D (mod N) とし, M := (j^{2} − D)/N とおくとき, (3) が j に属する解をもつ ⟺ T^{2} − DU^{2} = M が j に属する解をもつ.

• |N| < \sqrt{D} とするとき,

(X, Y) : (3) の解 ⟹ X/Y は\sqrt{D} の連分数展開の主近似分数である.

最後に, 楕円曲線の整数点との関係について述べる. E を

E : y^{2} = (ax + 1)(bx + 1)(cx + 1)

で与えられる Q 上の楕円曲線とし, Q 上の階数を rk E とかく.

{a, b, c} が D(1)-triples {k − 1, k + 1, 4k}, {1, 3, c}, {F_{2k}, F_{2k+2}, F_{2k+4}} や D(−1)-triples {F_{2k+1}, F_{2k+3}, F_{2k+5}}, {1, 2, c} のときに, E の整数点は “多くの場合に” 自明なものと “d_{±}” や “d^{±}” からくるもののみであることが知られている. より正確に, 上の D(1)-triples に対し, もし, rk E = 1 ({1, 3, c} の場合は rk E = 2) ならば, E の整数点の x 座標は 0, d_{+} ({1, 3, c} の場合はさらに d_{−}) のみであり ([13, 15, 23]), 上の D(−1)-triples (ただし c − 2 は平方因子を含まないと仮定する) に対し, もし, rk E = 1 ({1, 2, c} の場合は rk E = 2) ならば, E の整数点の x 座標は 0, d^{+} ({1, 2, c} の場合はさらに d^{−}, −1, (c − 3)/2) のみである ([30, 31]).

2 D(1)-pairs {k − 1, k + 1}

本節では, 定理 6 の証明の概略を述べる.

定理 3, 4 によって,

ν ≥ 2, k ≥ 3

と仮定してよい. {k − 1, k + 1, c, d} を D(1)-quadruple とすると, 正の整数 x, y, z が存在して,

(k − 1)d + 1 = x^{2}, (k + 1)d + 1 = y^{2}, cd + 1 = z^{2}

が成り立つ. d を消去すれば, 次の同時 Pell 方程式が得られる.

\{ \begin{matrix}(k − 1)z^{2} − cx^{2} = k − 1 − c, & (4) \\ (k + 1)z^{2} − cy^{2} = k + 1 − c. & (5) \end{matrix}

Pell 方程式の理論より, 次をみたすような整数 m ≥ 0, n ≥ 0 と (4) の基本解 (z_{0}, x_{0}), (5) の基本解 (z_{1}, y_{1}) が存在する ([14, Lemma 1]):

z\sqrt{k − 1} + x\sqrt{c} = (z_{0}\sqrt{k − 1} + x_{0}\sqrt{c})(s + \sqrt{(k − 1)c})^{m},  (6)
z\sqrt{k + 1} + y\sqrt{c} = (z_{1}\sqrt{k + 1} + y_{1}\sqrt{c})(t + \sqrt{(k + 1)c})^{n},  (7)

1 ≤ x_{0} ≤ \sqrt{\frac{(k − 1)(c − k + 1)}{2(s − 1)}} < \sqrt{\frac{s + 1}{2}},  (8)
1 ≤ |z_{0}| ≤ \sqrt{\frac{(s − 1)(c − k + 1)}{2(k − 1)}} < \sqrt{\frac{c\sqrt{c}}{2\sqrt{k − 1}}} < \frac{c}{2},  (9)
1 ≤ y_{1} ≤ \sqrt{\frac{(k + 1)(c − k − 1)}{2(t − 1)}} < \sqrt{\frac{t + 1}{2}},  (10)
1 ≤ |z_{1}| ≤ \sqrt{\frac{(t − 1)(c − k − 1)}{2(k + 1)}} < \sqrt{\frac{c\sqrt{c}}{2\sqrt{k + 1}}} < \frac{c}{2}.  (11)

(6) より z = v_{m}, (7) より z = w_{n} とかける. ここで,

v_{0} = z_{0}, v_{1} = sz_{0} + cx_{0}, v_{m+2} = 2sv_{m+1} − v_{m},  (12)
w_{0} = z_{1}, w_{1} = tz_{1} + cy_{1}, w_{n+2} = 2tw_{n+1} − w_{n}  (13)

である.

以下, {k − 1, k + 1, c, d} (c < d) が regular ではないと仮定する. さらに, 基本解 (z_{0}, x_{0}), (z_{1}, y_{1}) の可能性を絞るために, 次の意味で c が最小であると仮定して, c = c_{2} 以外はあり得ないことを示す.

仮定 1. すべての 0 < c′ < c_{ν−1} に対して, {k − 1, k + 1, c′, c} は D(1)-quadruple ではない.

(8), (9), (10), (11) に注意すれば, (12), (13) を使って z = v_{m} = w_{n} を mod (2c) で考えることにより, 次が分かる.

(i) v_{2m} = w_{2n} かつ z_{0} = z_{1} = ±1;
(ii) v_{2m+1} = w_{2n+1} かつ z_{0} = ±t, z_{1} = ±s (z_{0}z_{1} > 0).

さらに, v_{2m} = w_{2n}, v_{2m+1} = w_{2n+1} をそれぞれ mod (8c^{2}), mod (4c^{2}) で考えることにより, 次が得られる.

補題 1. c ≥ c_{3} と仮定する.

(i) m ≥ n > min \{0.7\sqrt[8]{\frac{c}{k + 1}}, 1.6\sqrt[8]{\frac{c}{k^{4}(k + 1)}}\};
(ii) m ≥ n > 0.5 (\sqrt[4]{\frac{c}{(k + 1)^{3}}} − 1) .

また, (4) と (k − 1)y^{2} − (k + 1)x^{2} = −2 とから x を x = p_{l} = q_{m} と 2 通りに表し, (i) の場合は mod (4k(k − 1)) で, (ii) の場合は mod (2k) で考えることにより, 次が得られる.

補題 2. c ≥ c_{2} と仮定する.

(i) m ≥ 2k − 1;
(ii) m ≥ k − 1.

c, k の上限を得るには, あとは, m の上限, 即ち, z の上限を得ればよい. そのために, Rickert (或いは Bennett) の定理を少しだけ改良した次の定理を使う.

定理 9. (cf. [4, Theorem 3.2], [37, Theorem], [39, Theorem]) k, N を k ≥ 3, N ≥ 10k^{7} なる整数とするとき, すべての整数 p_{1}, p_{2}, q (q > 0) に対し,

θ_{1} := \sqrt{1 + \frac{k − 1}{N}} と θ_{2} := \sqrt{1 + \frac{k + 1}{N}}

は

max \{|θ_{1} − \frac{p_{1}}{q} | , |θ_{2} − \frac{p_{2}}{q} |\} > \{16.1\frac{(k^{2} − 1)^{2}}{k} N\}^{−1} q^{−1−λ}  (14)

をみたす. ここで,

λ := \begin{matrix}log & (\frac{8.1(k^{2} − 1)^{2}}{k} N) \\ log & (\frac{0.84}{(k^{2} − 1)^{2}} N^{2}) \end{matrix} < 1

である.

今,

N = (k^{2} − 1)c, q = (k^{2} − 1)z, p_{1} = (k − 1)ty, p_{2} = (k + 1)sx

とすると, (4), (5) から, (14) の左辺は

max \{|θ_{1} − \frac{(k − 1)ty}{(k^{2} − 1)z} | , |θ_{2} − \frac{(k + 1)sx}{(k^{2} − 1)z}|\} < \frac{c}{2(k − 1)}z^{−2}  (15)

と上から評価できることが分かる. c ≥ c_{3}(> 58k^{5}) ならば N ≥ 10k^{7} となり定理 9 が適用できるので, このとき (15) と合わせて z の上限が得られる:

log z < \frac{log(0.84c^{2}) log(\frac{8.05(k+1)(k^{2}−1)^{4}c^{2}}{k})}{log(\frac{0.1037kc}{(k^{2}−1)^{3}})}

< \frac{4 log(0.917c) log(3.28k^{4}c)}{log(\frac{0.1037}{k^{5}}c)}.

補題 1, 2 と合わせれば, 次が示される.

命題 1. k ≥ 3 を整数とし, ある d > c_{ν+1} に対して {k − 1, k + 1, c, d} が D(1)-quadruple であると仮定すると, 仮定 1 の下で次が成り立つ.

(i) z = v_{2m} = w_{2n} ならば c ≤ c_{6} であり, さらに次が成り立つ.

(1) c = c_{3} ならば, 3 ≤ k ≤ 34;

(2) c = c_{4} ならば, 3 ≤ k ≤ 7;

(3) c = c_{5} ならば, 3 ≤ k ≤ 5;

(4) c = c_{6} ならば, k = 3. (ii) z = v_{2m+1} = w_{2n+1} ならば c ≤ c_{4} であり, さらに次が成り立つ.

(1) c = c_{3} ならば, 3 ≤ k ≤ 83;

(2) c = c_{4} ならば, 3 ≤ k ≤ 9.

注意 3. Rickert の定理は, θ_{1}, θ_{2} の k のところが 0 の場合であり, N ≥ 26 と仮定すれば λ < 1 となる. Bennett の定理は, k − 1, k + 1 のところが一般の相異なる整数 a_{1}, a_{2} の場合であり, N > max{|a_{1}|, |a_{2}|} (今の場合, = (k + 1)^{9}) なる仮定が置かれている (これはおおよそ λ < 1 となるための十分条件である). しかし, N > (k + 1)^{9} となるためには c ≥ c_{4} でなければならないので, c = c_{3} のとき k の上限が得られず, よって, 系 1 が得られない. 従って, 定理 9 はほんのわずかな改良ではあるが, ここでは本質的である.

命題 1 で残った有限個の c ≥ c_{3} と k ≥ 3 の場合があり得ないことをいうには, Baker-Davenport ([2]) による標準的な方法を使えばよい. すなわち, まず, m, n を係数とする対数の一次形式を評価する:

(i) 0 < m_{1} log α_{1} − n_{1} log α_{2} + log α_{3} < 1.2α_{1}^{−2m_{1}};  (16)
(ii) 0 < m_{2} log α_{1} − n_{2} log α_{2} + log α_{4} < 4.1k^{2}α_{1}^{−2m_{2}}.  (17)

ここで, m_{1} := 2m, m_{2} := 2m + 1, n_{1} := 2n, n_{2} := 2n + 1,

α_{1} := s + \sqrt{(k − 1)c},  α_{2} := t + \sqrt{(k + 1)c},
α_{3} := \frac{(\sqrt{c} ± \sqrt{k − 1})\sqrt{k + 1}}{(\sqrt{c} ± \sqrt{k + 1})\sqrt{k − 1}},  α_{4} := \frac{(k\sqrt{c} ± t\sqrt{k − 1})\sqrt{k + 1}}{(k\sqrt{c} ± s\sqrt{k + 1})\sqrt{k − 1}}.

である. 次に, Baker 理論 (例えば [3]) を使って, 各 c, k に対して m の上限を得る:

\begin{aligned}(i) & m_{1} & ≤ 4 · 10^{18}; \\ (ii) & m_{2} & ≤ 6 · 10^{18}. \end{aligned}

最後に, 各 c, k に対して, (16), (17) を log α_{2} で割ったもの

0 < m_{1}κ − n_{1} + μ_{1} < A_{1}B^{−m_{1}},
0 < m_{2}κ − n_{2} + μ_{2} < A_{2}B^{−m_{2}}

(κ := \frac{log α_{1}}{log α_{2}} , μ_{1} := \frac{log α_{3}}{log α_{2}} , μ_{2} := \frac{log α_{4}}{log α_{2}} , A_{1} := \frac{1.2}{log α_{2}} , A_{2} := \frac{4.1k^{2}}{log α_{2}} , B := α_{1}^{2})

に次の補題を適用して矛盾を示す (“reduction method” と呼ばれる方法である):

補題 3. ([22, Lemma 5 a)], [2, Lemma]) M を正の整数, p/q を κ の連分数展開の近似分数で q > 6M なるものとし, ϵ := ||μq|| − M ||κq|| とおく (|| · || は最も近い整数との距離を表す). もし ϵ > 0 ならば, 不等式

0 < mκ − n + μ < AB^{−m}

は

\frac{log(Aq/ϵ)}{log B} ≤ m < M

の範囲に整数解をもたない.

従って, 仮定 1 の下で, c = c_{2} が成り立つ. あとは, 次を示せばよい.

命題 2. k ≥ 3 を整数とし, ある c = c_{ν} ≥ c_{4} に対し {k − 1, k + 1, c_{2}, c} が D(1)-quadruple であると仮定すると, 任意の d > c_{ν+1} に対し {k − 1, k + 1, c, d} は D(1)-quadruple ではない.

この命題は, 上と全く同様の議論によって示される.

注意 4. (1) c = c_{2} の場合には, 補題 2 と Baker 理論によって, m_{1} < 10^{21}, m_{2} < 10^{21} が分かり, 従っていずれの場合にも k ≤ 5 · 10^{20} が分かる. しかし, この k の上限は非常に大きいので, 補題 3 を各 k に適用することが出来ない.

(2) [6] では, 合同式をより詳細に調べることにより, 補題 2 を改良し, Baker 理論として, [3] のものを Mignotte の定理 ([34]) に置き換えることにより, k > 1000 ならば

m < 3.6 · 10^{16}, 従ってk < 5.4 · 10^{8}

となることを示し, reduction method により, 矛盾を導いている.

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藤田育嗣東北大学大学院理学研究科〒 980-8578 仙台市青葉区荒巻字青葉 email: fyasut@yahoo.co.jp Yasutsugu Fujita Mathematical Institute Tohoku University Sendai 980-8578, Japan