Siegel modular form of degree 2 and Abelian variety.

{岡崎 武生 \atop 大阪大学大学院理学研究科}

1 吉田予想と吉田リフト．

[志村−谷山予想] 全ての ℚ 上定義された楕円曲線 E に対して，次の条件を満たす重さ 2 の楕円保型形式 f が存在する．

• L(s, E) ≥≤ L(s, f).

• E の conductor と f の level は一致する． □

この予想の根拠となった Eichler-Shimura 理論がありました． [Eichler-Shimura 理論] f = ∑_{n∈ℤ_{>0}} a_{n} exp(2πinz) を重さ 2 の Hecke eigen cuspform とする．このとき，

• ℚ_{f} := ℚ⟨a_{n} | n ∈ ℕ⟩ は有限次代数体である.

• [ℚ_{f} : ℚ] 次元 Abel 多様体 A_{f} で L(s, H^{1}(A_{f}, ℚ_{l})) = ∏_{σ:ℚ_{f} ↪ℂ} L(s, f^{σ}) となるものが存在する．

特に ℚ_{f} = ℚ のときは A_{f} は楕円曲線である． □ さて，志村−谷山予想の 2 次元版として，京都大学の吉田敬之先生により

吉田予想 root number =1 をもつℚ上定義された，全てのsimpleなAbel曲面Aに対して， L(s, H^{1}(A, ℚ_{l})) = L(s, F, spin), up to finitely many bad primes となる次数，重さ 2 の Siegel 保型形式 F が存在する． □

と予想されました．この予想の根拠となったのが，吉田リフトと呼ばれる Siegel 保型形式の構成法でした．その吉田リフトには次の２タイプがあります．

(I) 楕円保型形式の pair から構成:

S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(p))^{2} ∋ f_{1}, f_{2} ⟼ Y_{f_{1},f_{2}}^{2} ∈ M_{2}^{2}(Γ_{0}(p)), L(s, Y_{f_{1},f_{2}}, spin) = L(s, f_{1})L(s, f_{2}).

(II) ２次体 K = ℚ(\sqrt{N}) の Hilbert 保型形式から構成:

S_{2}(Γ_{K}) ∋ f ⟼ Y_{f}^{2} ∈ M_{2}^{2}(Γ_{0}(N), χ_{N}), L(s, Y_{f}, spin) = L(s, f).

Γ_{K} = ( ^{\begin{matrix}∗ & \sqrt{N^{−1}}∗ \\ \sqrt{N}∗ & ∗ \end{matrix}} ), ∗ ∈ 𝔬_{K}.

吉田先生は，この type (I) の吉田リフトと， Eichler-Shimura 理論で得られる Abel 曲面とを用いて，吉田予想の成立している Siegel 保型形式と Abel 曲面の pair の example を与えました．しかし，この吉田リフトには， Yoshida’s non-vanishing problem この吉田リフトはいつでも有効な構成法なのか？消えている事はないのか？

という問題がありました．この問題に対して， Böcherer and Schulze-Pillot’s result (1992) type (I) の吉田リフトは消えない． □ という事が証明されました．この定理により，我々は楕円保型形式 (trivial central character) から得られる Abel 曲面に対しては吉田予想が成立している事がわかります．

一方，東京大学の織田孝幸先生の予想 (1982) や Brylinski-Labesse(1984) の結果などより，次の事を予想するのは自然と思われます．

Conjecture 1 K を実２次体， ρ を Gal(K/ℚ) の生成元とする．重さ 2 の Hilbert eigen cuspform f(z_{1}, z_{2}) = ∑_{𝔫∈𝔬_{K}} a_{𝔫} exp(2πi(N(𝔫)z_{1} + N(𝔫)^{ρ}z_{2})) に対して， K 上定義された以下の条件をみたす Abel 多様体 A_{f} with dim A_{f} = [ℚ_{f} : ℚ] が存在する．

• L(s, H^{1}(A_{f}, ℚ_{l})) = ∏_{σ:ℚ_{f} ↪ℂ} L(s, f^{σ}).

• End_{ℚ}(A_{f}) ⊃ ℚ_{f}. □

Remark 1 End_{ℚ}(A_{f}) ⊃ K ではない事に注意．織田予想は一般次数の totally real filed 上の Hilbert 保型形式に対してされている．

この Conjecture 1 を仮定すれば，特に Hilbert 保型形式 f から，次のタイプの Abel 曲面/ℚ が得られます．

i). 楕円曲線 E_{f}/K の Weil restriction Res_{K/ℚ}E_{f}.

ii). S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(N), χ_{N}) から得られる Abel 曲面． (これは予想を仮定する必要はない． E-S.)

iii). [ℚ_{f} : ℚ] = 2 で， ‘本当は’ℚ 上定義されている Abel 曲面 A_{f}.

(genus 2 の hyper-elliptic curve C : y^{2} = x^{5} + a, (a ∈ ℚ^{×}) の Jacobian などは高い conductor を持つので full-modular 保型形式に対応しないが， 3 の例と考えられる． )

そこで次に吉田予想に更に根拠を与える為の自然な問題として，吉田リフト type (II) は消えないか？を考えました．

2 主結果．

上の問題について次の答えが与えられます． p|N に対して local Fircke involution を

i_{p} : S_{2}(Γ_{K}) ∋ f(z_{1}, z_{2}) ⟼ f(\frac{−1}{pz_{1}} , \frac{−1}{pz_{2}} ) ∈ S_{2}(Γ_{K})

で定義する． i_{p}(f) = ±f である．

Main Theorem 1 f が i_{p}, p|N に関する eigen value が全て 1 ならば， (一つの p でも i_{p}(f) = −f なら Y_{f} = 0.)

• 吉田リフト type (II) の像 Y_{f} は消えない． • Y_{f} の Fourier 係数は ℚ_{f} に含まれる．

• f が Doi-Naganuma lift of nebentypus で得られるなら， Y_{f} は cuspform では無い．

S_{2}^{(1)}(Γ_{K})^{∨} →^{Y} S_{2}^{(2)}(Γ_{0}(N), χ_{N}),
S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(N), χ_{N}) →^{DN} S_{2}(Γ_{K})^{N} →^{Y} N_{2}^{(2)}(Γ_{0}(N), χ_{N}) →^{Φ} S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(N), χ_{N}).

S_{2}(Γ_{K}) における D-N lift の像を S_{2}(Γ_{K})^{N} であらわし，直交補空間を S_{2}(Γ_{K})^{∨} としている．下段最右の map は Siegel 作用素． N_{2}^{(2)} は Siegel non-cuspform の空間. g ∈ S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(N), χ_{N}) から出発して最後まで行き着く事が常に出来， Φ ∘ Y ∘ DN(g) = g + ḡ になっている． □

更に，

Main Theorem 2 上定理では， f ∈ S_{2}(Γ_{K})^{N} の吉田リフトの像 Y_{f} は non-cuspform であったが， f が Grössencharacter でかけるなら， Y_{f} と同じ spinor L-関数をもつ cuspform F^{C} が存在する． □

こういった現象の explicit な表示として， [4] に『y^{2} = x^{5}−x に対応した Siegel cuspform が存在し Igusathetaの４積の形をしている．』という結果があります．なお， y^{2} = x^{5}−xはE : y^{2} = x(x−1)(x−1−\sqrt{2}) の Weil restriction なので ℂ-simple ではない．

さて，吉田予想と (拡張された) 織田予想を仮定すると Siegel 保型形式の standard L-関数に関する Kudla-Rallis-Soudry 結果 (1993) より， Abel 曲面の Hasse-Weil 関数の２次元 part の本質的な部分 L′(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) := ζ(s − 1)^{−2}L(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) に関して次の事が言えます．

A/ℚ が simple かつ root number = 1 ならば， ord_{s=2}L′(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) ≥ −1 で

1. End_{ℚ}(A) = ℚ ⇒ ord_{s=2}L′(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) ≥ 1.

2. ord_{s=2}L′(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) = 0 ⇒ L(s, H^{1}(A, ℚ_{l})) と同じ L-関数を持つ楕円保型形式の pair か Hilbert 保型形式 (虚２次体上も含む) が存在する.

3. ord_{s=2}L′(s, H^{2}(A, ℚ_{l})) = −1 ⟺ A は S_{2}^{(1)}(Γ_{0}(N), χ_{N}) から得られる Abel 曲面.

従って，興味深い問題として，『End_{ℚ}(A) ≠ ℚ ならば， Shimura curve の Jacobian か２次体上の Hilbert 保型形式の motive と isogeneous か？』という問題が考えられます．

参考文献

[1] Böcherer, S and Schulze-Pillot, R: Siegel modular forms and theta series attached to quaternion algebras, Nagoya Math. J. 121 (1991), 35-96. II, 147 (1997), 71-106.

[2] Kudla, S, Rallis, S and Soudry, D: On the degree 5 L-function for Sp(2), Invent. math. 107 (1992), 483-541.

[3] Oda, T: Periods of Hilbert surfaces. Progress in math. 19, Birkhässer, (1982).

[4] Okazaki, T: Proof of R. Salvati Manni and J. Top’s conjectures on Siegel modular forms and Abelian surfaces, Amer. J. Math. 128, (2006) 139-165.

[5] Yoshida, H: Siegel’s modular forms and the arithmetics of quadratic forms, Invent. math. 60 (1980), 193-248.