主要研究業績の解説（試作版）

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「業績リストを見ても、何がどうなのだか、すぐにはわからない！」 という人のために、自分の研究業績のなかで主要なものの要旨を、 ざっと書いておきます。研究には当然ながらストーリーがありますので、 研究業績リストとは逆に、過去のものから順に書いていきます。

保型形式に関するもの

まずは、最初の論文です。

D3のときに書いた、最初の論文です。 ただ、拡張領域について具体的に調べた結果はそう多くなく、 楕円積分論から保型形式に至る道筋を、一般の原始形式で 行う作業(内輪で言うところの Saito Project)をしなければ と思っています。
それはともかく、４型有界対称領域の保型形式環の構造については、 私の指導教官の予想があり、大学院生のころは、その解決を 夢見ていました。が、そうはうまくいかず、あるとき、ある先生に 「とりあえず簡単な場合でうまくいくか試してみたら？」と 言われました。その結果が次の論文です。

一番簡単な４型有界対称領域は、種数２のジーゲル上半空間です。 で、試してみると大変うまくいき、簡単に保型形式環の構造が 決定できました。 この構造は既に知られていましたが、初等的でたいへん簡単な 証明を与えたという点で、悪くない成果だと思っています。
なお、同様の証明は他のいくつかの群に対しても通用します。 また、そこから派生して、ジーゲル保型形式環について 若干の新結果が得られました。 これらについては研究会の報告集などを参照してください。 証明の細部を気にしないならば、これらの結果は 後述の伊吹山先生との共著の論文にほぼ含まれています。
さて、そうすると、当然、次に考えるのは「２番目に簡単な場合」です。

２番目に簡単な４型有界対称領域は、種数２のエルミート上半空間です。 で、これまた試してみるとかなりうまくいき、すぐに 「構造決定まであと一歩」の状況までいきました。 ただ、最後のひとつの保型形式(Skew-symmetricなもの)がうまく 構成できずに悩んでいたのですが、ある先生に「君の論文(前述) に関して、こんな面白い定理を見つけたよ」と言われたときに、 それがこの論文にも応用できるとわかり、ゴールにたどりつきしました。
なお、同様の証明はアイゼンシュタインの数体に対しても通用しますが (しかしかなり複雑)、既知の結果を越えるものではないと考え、 談話会で少し話した程度です。
さて、ここまでくれば 「さあ次は３番目に簡単な場合…」となるのですが、そうは簡単にはいきません。 いくら最初の証明が簡単でも、次元が増えるとだんだん計算が複雑に なってきて、さらなる工夫が必要になってきます。 そこで一旦方針転換して、別のタイプの保型形式への応用を考えてみました。

新しい対象は、ヒルベルト保型形式です。 ２変数ですので、計算はそんなに難しくないことが期待されます。 アイデアは今までの論文と少々違いますが、初等的な方法で 次元を評価することにより保型形式環の構造を決定するという 作戦は同じです。
ところで、保型形式の具体的構造をテーマに研究している ということで、 Borcherds 無限積についての解説を 行うことになりました。そのときの解説文は、 第１回保型形式周辺分野スプリングコンファレンスの報告集にあります。 Borcherds 無限積について日本語でさらっと読むなら 悪くないんじゃないかと思います。
で、せっかく解説したのだから何か新しいことを見つけようと、 試行錯誤してみました。 この時期までに、他にもいくつかの雑多な研究成果を 研究集会で発表していたのですが、次の論文で、 それらをうまく取り込んでいただけました。

話は再び、ヒルベルト保型形式に戻ります。 ヒルベルト保型形式で主に研究されているのは 重みがすべて一致している場合なのですが、個人的には、 そうでない場合にも興味がありました。 以前の論文と同じアイデアで証明ができる部分についての結果が、 次の論文です。

アイデアは重みがすべて一致している場合とそう変わらず、 重みが小さい部分での保型形式の存在証明や構成が少々面倒な程度で、 証明方法に目新しい部分はありません。 そのため、しばらくの間、結果を論文として発表していなかったのですが、 他の研究者から問い合わせがあり、ある研究テーマに応用できることが わかったので、結果をまとめて論文にしました。
また、似たようなアイデアは、ベクトル値の保型形式の場合にも 通用することがわかりました。 ちょうど、2005年の論文のベクトル値版です。 結果は、2005年の論文と同じで、レベルが小さいときには、 保型形式全体のなす空間は、 とてもシンプルな構造になっていることがわかりました。

さらに、このアイデアは、ジーゲルパラモジュラー形式でも ほぼ同様に通用に通用することがわかりました。 通用するという事実は既に他の研究者によって知られていましたが、 以下の論文では、群を工夫することによって、レベルが小さいときには、 保型形式全体のなす空間がとてもシンプルな構造に なっていることまで示しました。

この論文は、2000年の論文もですが、保型形式のなす空間の次元の評価に ヤコビ形式が大きな役割を果たしています。また、その他の論文も含め、 保型形式の構成にもヤコビ形式は大きな役割を果たしています。 このヤコビ形式、今までの論文で使ってきたのは整数重み、整数指数の ものだけでしたが、今までの研究で、ヤコビ形式についての議論は、 実数重み、実数指数の範囲で通用するはずだと感じていました。 この点を詳細に調べたのが、次の論文です。

さて、話はヒルベルト保型形式に戻ります。 考察の出発点は、2004年と2008年の自分自身の論文です。 その後もこれらの結果を拡張できないかどうか常々考えて いたのですが、2016年頃にかなり有望そうな方法を思いつきました。 ただ、その方法を大規模に実行するにはコンピュータによる計算が必要だということもあり、 その筋に明るい保型形式の研究者である竹森さん（当時、マックスプランク研究所研究員）に 共同研究を持ちかけたところ、思っている以上にうまく研究が進み、 次の論文となりました。

重みが差が小さい場合…というのは2008年の論文と同じですが、 2008年の論文は極めて小さい１つか２つの場合だけ（でたまたま うまくいっている）なのに対し、 この論文は、数十個の場合でできているうえに、 一定の仮定さえみたせば（ここは未証明）原理的には 重みの差がいくつでも通用する方法を用いています。
その後はヤコビ形式に戻って研究中です。ただいま論文を１つ投稿中。

その他のもの

助手のときに、学生達の自主ゼミを見ていた関係で、 数理ファイナンスの研究室に、少しだけ関係していました。 次の論文は、そのときのものです。

以下、現在も研究中…………かなあ？（保型形式が専門ですので……）

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