2005年度整数論サマースクール（プログラム）

• プログラム
• 講演要旨
• 宵の時間
• 自由時間

プログラム

以下の予定は講演者の都合や内容の調整により変更になる場合があります。
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講演要旨

高瀬幸一（宮城教育大学）

「Hilbert保型形式入門」
1) 複素上半平面の直積上の関数としての Hilbert 保型形式
2) GL(2) のアデール化上の関数としての Hilbert 保型形式
3) Hecke 作用素、付随する L-関数
参考文献
1) A.Weil;Dirichlet Series and Automorphic Forms (Lectures Notes in Math. 189, Springer-Verlag, 1971)
2) P.B.Garrett;Holomorphic Hilbert Modular Forms (Brooks/Cole, 1990)
3) E.Freitag;Hilbert Modular Forms (Springer-Verlag, 1990)

山内淳生（名古屋大学）

「Hilbert Eisenstein series の基本的な性質」
Hilbert保型形式の場合の正則、非正則なEisenstein級数（adele化したものを含む）の定義、 および基本的な性質（保型形式の空間が、Eisenstein級数と、cusp formの直和となることなど）を述べる。
「Hilbert Eisenstein series と $L$ 函数」
Eisenstein級数（およびそのFourier係数）とL函数の関係、それらの積分表示と解析接続について述べる。
参考文献
G. Shimura, On the Eisenstein series of Hilbert modular groups, Revista Mathematica Iberoamericana 1(1985) p1-p42.
P. B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms(Chapter 4).

桂田英典（室蘭工業大学）

「Doi-Naganuma lift およびそれに関連する話題」
pdfファイルをご覧ください。

今野拓也（九州大学）

「GL(2)のbase change lift」
楕円保型形式からHilbert保型形式への土井・長沼リフトの拡張 である、$GL(2)$上の保型形式の基礎体の巡回拡大に付随する base change lift を解説する。まず楕円保型形式やHilbert保型形式が有理数体や総実代数体上の$GL(2)$のアデール群上の保型形式の特別な場合と見なせることを解説し、続いてそれら$GL(2)$上の保型形式が$L$関数による記述を持つこと(Hecke理論)を手短に復習する。 (連続スペクトルも含めて扱われる Base change lift の記述にはアデール群上の保型形式の概念が必要だからで ある。)これらのもとで基礎体の巡回拡大に付随する base change lift をまず、保型形式に付随する$L$関数を用いて定義する。その上で保型表現の(局所成分の)指標の間の等式を用いた新谷による base change lift の定義を与え、さらに時間があれば、twisted trace formula を用いた base change lift の存在証明をごく簡単に紹介する。
参考文献
[1] Langlands and R.P., “Base change for GL(2)”, (Princeton University Press, Princeton, N.J., 1980).
[2] P. Gérardin and J.-P. Labesse, in: “Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2”, (Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979) p. 115.

織田孝幸（東京大学）

「Hilbert modular varieties as moduli spaces of abelian varieties」
Section 1. Transcendental construction of Hilbert modular varieties.
(1.1) Abelian varieties with maximal real multiplication.
(1.2) Equivalence of abelian varieties and polarized Hodge structures of weight 1.
(1.3) The space parametrizing Hodge structures of weight 1 with maximal real multiplication.
Section 2. Algebraization and descent of the field of definition.
(2.1) The old technics of Chow coordinates and Chow points.
(2.2) The technics of Hilbert schemes.
Section 3. The model over $\mathbb{Z}$.
「Cohomology groups of Hilbert modular varieties」
Section 4. Cohomology (group) of Hilbert modular varieties.
(4.1) The Eichler-Matsushima-Shimura isomorphism for the double coset space $\Gamma\setminus SL(2,\mathbb{R})^g/SO(2)^g$.
(4.2) The action of Hecke operators.
(4.3) Various comparison isomorphisms.
(4.4) Decomposition of cohomology groups associated with primitive forms (Hodge realization and l-adic realization).
参考文献
1. M. Rapoport, Compactifications de l'espace de modules de Hilbert-Blumenthal, Compositio Math. 36 (1978), 255-335.
2. T. Oda, Periods of Hilbert modular surfaces, Progress in Mathematics, 19. Birkh\"auser, Boston, 1982.
3. Y. Matsushima; G. Shimura, On the cohomology groups attached to certain vector valued differential forms on the product of the upper half plane, Ann. of Math. 78 (1963), 417-449.

花村昌樹（東北大学）

「保型形式から$\ell$進表現、モティーフへ」
講演は以下の内容で、modular多様体のモティーフを説明することが主点です。
１．　Deligne は$SL_2$の保形形式の空間に対応する $l$進表現を$l$進のparabolic cohomologyとして構成した。さらにKuga-Sato-ShimuraのアイディアとWeil予想を用いて、保形形式$\Delta(z)$に関するRamanujan予想を証明した。
2. Scholl は上の「$SL_2$の保形形式の空間に対応する $l$進表現」があるモティーフから来ていること、さらに各保形形式に対応する$l$進表現もモティーフであることを示した。この場合モティーフとは古典的な意味のもの（代数多様体のコホモロジーの幾何的な直和因子）である。
3. もっと一般にHilbert modular varietyの場合、やはりparabolic cohomologyがモティーフであることを示すことができる。そのためには相対モティーフ（あるいはモティーフ層）の考えが重要である。
参考文献
P. Deligne: Formes modulaires et repr\'esentations l-adique, S\'em. Bourbaki 1969, Lecture Notes in Math. 179, Springer.
A. Scholl : Motives for modular forms,Invent. Math. 100(1990) 419-430.
D. Blasius and J.D. Ragawski : Motives for Hilbert modular forms, Invent. Math. 114 (1993) 55-87.

河合悠介（京都大学）

「Borcherdsの無限積 - O(2,2)の場合 -」
この講演では、Borcherds の無限積に関する内容を Hilbert modular 形式の場合に述べたいと思います。
Borcherds の無限積とは、[1]において $SL_2(Z)$ の二重被覆群 $MP_2(Z)$ の Weil 表現に関する保型形式でカスプでは高々極を持ち、Fourier 係数についてある整数性条件を満たすものから、直交群 $O(2,l)$ の保型形式を与える乗法的な対応を考える際に現れるものです。
この対応の $O(2,2)$ の場合は Bruinier によって研究が進められており、non-holomorphic Poincare 級数を用いることによって Borcherds の乗法的リフトの幾何学的な意味について考えることができます。
そこで本講演では文献[2][3]に基づいて、Borcherds の乗法的リフトの構成法および divisor による特徴付け、そして Doi-Naganuma リフトとの関係についてなどを中心に解説する予定です。
参考文献
[1]R. Borcherds, Automorphic forms with singularities on Grassmannians, Invent. Math. 132 (1998), 491-562.
[2]J. Bruinier, Borcherds products and Chern classes of Hirzebruch-Zagier divisors, Invent. Math. 138 (1999), 51-83.
[3]J. Bruinier and M. Bundschuh, On Borcherds products associated with lattices of prime discriminant, Ramanujan J. 7 (2003), 49-61.

浜畑芳紀（東京理科大学）

「Hilbert modular曲面上の曲線の交差数と保型形式」
$p\equiv 1 (mod 4)$が素数のとき、$Q(\sqrt{p})$のHilbert modular曲面上のmodular曲線の交差数を計算し、これらがNebentypusの保型形式のFourier係数になることを解説する。
参考文献
1. F. Hirzebruch and D. Zagier, Intersection numbers of curves on Hilbert modular surfaces and modular forms of Nebentypus, Invent. Math. 36 (1976), 57-113.
2. D. Zagier, Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields, In: ``Modular functions of one variable", VI(Bonn, 1976), 105-169, Lecture Notes in Math., 627, Springer, 1977.

森山知則（上智大学）

「Basis problem of Hilbert-Siegel modular forms (after J. Kuang)」
Hilbert-Siegel 保型形式は総実代数体 $F$ 上の代数群 Sp(n,R)上の保型形式として定義される。このとき、適当な条件下で、Hilbert-Siegel保型形式の空間が theta 級数で張られること説明する。証明の道具である、Siegel-Weil公式およびEisenstein 級数のpull-back formula (P.Garrett)を中心に述べたい。
参考文献
J. Kuang, On the linear representability of Siegel-Hilbert modular forms by theta seires, Amer. J. Math 116 (p.921-994)

岡崎武生（大阪大学）

「D. Lanphier ``Petersson norms and liftings of Hilbert modular forms''の紹介」
(1) Lanphier の結果の説明 (10分）
(2)　Saito-Kurokawa lift, Ikeda liftの復習（20分）
(3) Pull-back formula (森山さんがAdelicにやってくださるので、Classicalな説明をSiegel modular form(Q上)をBoecherer先生流で)　（20分）
(4) Lanphierの結果の証明　(20分）
の予定です。
参考文献
[1]S. Boecherer & R. Shculze-Pillot: Siegel Modular forms and theta series atched to quaternion algebras, Nagoya Math J. 121(1991) 35-96. (II) Nagoya Math. J.147(1997) 71-106.
[2]J. W. Cogdell & I, I Piatetski-Shapiro: Base change for the Saito-Kurokawa representations of PGSp(4), J. Number theory 30(1988).
[3]M. Furusawa: On Pertersson norms for some liftings, Math Ann. 267(1984) 543-548.
[4]P. B. Garrett: Holomorphic Hilbert modular forms, Brooks-Cole, 1990.
[5]T. Ikeda: On the lifting of elliptic cusp forms to Siegel cusp forms of degree $2n$. Ann. Math. 154(2001), 641-681.
[6]D. Lanphier: Perterson norms and liftings of Hilbert modular forms, J. number theory 106(2004) 238-258.

長岡昇勇（近畿大学）

「Serre's $p$-adic modular forms」
dviファイルまたは pdfファイルをご覧ください。

山上敦士（京都大学）

「Katz $p$-adic modular forms」
dviファイルまたは pdfファイルをご覧ください。

宵の時間

予定されている講演は次のとおりです。
加塩朋和（大阪大学）「ｐ進多重ガンマ函数を用いたある不変量について」
知念宏司（大阪工業大学）「線型符号のゼータ関数 (Iwan Duursma の理論) とその 1 つの拡張」
原田新也（九州大学）「局所体の mod $p$ ガロア表現の有限性について」
平之内俊郎（九州大学）「Finiteness of abelian fundamental groups with restricted ramification」
眞野智行（京都大学）「Q(\sqrt{2})のヒルベルトモジュラー形式の対数微分を解に持つ微分方程式について」
山下剛（東京大学）「ｐ進多重Ｌ値空間の次元の評価」

自由時間

３日目の午後は自由時間です。
・宿で討論
・宿で寝る
・海岸を散歩（会場のすぐ近くです）
・羽咋市内観光
・金沢観光（これは時間的にかなりぎりぎりですが）
などをお楽しみ下さい。
羽咋駅（＝羽咋市街）への送迎バスをお願いしています。

• ゆき：会場 13:10 → 羽咋駅 13:25 （接続電車：羽咋 13:33 → 金沢 14:36）
• かえり：羽咋駅 18:05 → 会場 18:15 （接続電車：金沢 17:02 → 羽咋 18:02）

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